半导体物理-第二章

第二章固体理论概要

本章学习要点：

1.了解半导体物理中用到的基本量子力学原理，主要

结论，包括能量量子化和几率波的概念，以便更好

地理解晶体中的电子特性；

2.建立半导体的能带理论；

3.掌握k空间能带图，电子的有效质量，空穴的概念；

4.掌握量子态密度与电子能量之间的函数关系；

5.掌握费米－狄拉克分布函数，由此确定电子占据一

个量子态的几率与电子能量之间的函数关系,费米

能级。§2.1量子力学原理

三个基本的量子力学原理

1.能量量子化

实验现象：光电效应，采用单一频率的入射光照射到

金属材料的表面上，则会有光电子激发出来。

光强一定时，激发出的光电子的最大动能与入射光的频率成线性关系，且当入射光的频率低于某个临界频率时，则无论光强多大，都不会有光电子激发出来。光电效应采用经典理论无法解释。爱因斯坦引入“光子”的概念，成功解释了光电效应，临界频率则对应于金属材料的功函数。(金属中的价电子逸出体外，需要外界对它做的功)2.波粒二象性原理

光电效应表明光波具有粒子（光子）的特性，电磁波的康普顿效应实验也验证了光子在与电子之间的相互作用满足能量和动量守恒。那么粒子是否也具有波动的特性呢？

1924年德布罗意提出物质波的假说，即各种微观粒子也同时具有波动特性，此即波粒二象性原理。

实验现象：电子的双缝干涉实验表明，电子（粒子）也具有波动的特性。（1927年，戴维逊和革末）3.不确定原理

不确定原理的首要观点是对同一粒子不可能同时确定其坐标和动量。如果动量的不确定度为，而坐标的不确定度为，则不确定关系为：

对于具有特定动量的电子，在任意时刻，其位置是不能确定的，只能由几率函数给出。§2.2能量量子化与几率波的概念

能量量子化和波粒二象性原理都无法应用经典力学的理论来解释，1926年薛定谔提出了微观粒子的波动力学理论。稳态情况下，不含时间的薛定谔方程可以表示为：其中E是微观粒子总的能量，假设其为常数，V(x)为微观粒子的势能，m是微观粒子的质量。自由电子的波函数为：氢原子模型示意图对于氢原子模型这样的三维波函数问题，除了主量子数n之外，还必须引入另外量子数，即：轨道角量

子数L和磁量子数m，这些量子数之间的关系为：

n=1,2,3,......,

L=n-1,n-2,n-3,......,3,2,1,0

|m|=L,L-1,L-2,......,2,1,0

每一组量子数对应于电子可以占据的一个量子态。

在氢原子模型中，薛定谔波动方程的解可表示为：其中n、L、m为一组量子数。当n=1、l=0、m=0时，波函数为：该波函数是球对称的，其中的a0为：a0称为玻尔半径（起源于经典理论中的玻尔原子理论）。电子的径向几率密度函数，即

在距离原子核一定间距范围内

找到电子的几率，既正比于乘

积，同时也正比于环绕原子核的一个球壳的微分体积。左图给出了氢原子模型中最低能态上电子的几率密度分布函数。从图中可见，当r=a0时，电子的分布几率最大。当n=2、l=0、m=0时，对应的高能态球对称波函数的

径向几率密度函数如下图所示：§2.3固体的量子理论

在上一节关于氢原子模型的讨论中，看到束缚电子的能级是量子化的，只能取一系列分立的数值，而电子的空间位置则是由径向几率分布密度函数决定。在这一节中我们将把上述有关单个原子的结论推广到整个晶体材料中，从而形成晶体材料中的允许带和禁带的概念。1.能带的形成左图为单个原子的电子云径向密度分布，右图则是当两个原子靠近之后，二者的电子云发生重叠，此时两个不同原子的电子之间产生相互作用，导致原来相同的两个能级发生分裂。下图所示为两个氢原子靠得很近之后，原来相同的两个1s能级就会发生分裂，变成两个离散的能级。如图所示为大量相同的原子靠得很近形成晶体材料之后，原来相同的电子能级就会发生分裂，变成一系列离散的能级，这些离散的能级形成能带，其中的r0代表平衡状态下晶体中的原子间距。图示为大量包含多个电子的原子靠得很近形成晶体材料之后，原来相同的电子能级发生分裂的情况。

原子靠近→电子云发生重叠→电子之间存在相互作用→分立的能级发生分裂形成能带。从另外一方面来说，这也是泡利不相容原理所要求的。大量硅原子形成硅晶体材料的情况：

（1）单独硅原子的电子能级示意图；(2)大量硅原子（N）形成硅晶体的电子能级分裂示意图硅晶体形成过程中发生的sp3轨道杂化，最终形成填

满电子的价带和完全没有电子的导带，二者之间为禁带宽度Eg。温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够大的能量，从而克服共价键的束缚，进入导带。能带图：纵坐标为能量，横坐标为空间位置。各个分裂出来的能级都位于导带和价带之中，导带底EC和价带顶EV之间的能量差为禁带宽度Eg。随着温度的升高，导带中的电子和价带中的空位数都会增加。3.晶体材料中电子与空穴的有效质量

电子在晶体材料中的运动与电子在自由空间的运动有很大的差别，晶体中的电子除了受到外力之外，还会受到来自晶体内部各种带电粒子以及周期性势场的作用。,根据定义，是状态的函数，其值取决于该状态下的带顶，带底附近有效质量才近似为常数。带底：>0<0关系。带顶：以后方便期间，*一般省略。晶体中的电子，除了受外力作用外，还受到复杂的周期场的作用力，采用就可以得出外力F和加速度a的简单关系，而把复杂的周期场力包括到中去了，从而可以将晶体中的电子视为经典粒子，将其规律等效为自由电子的运动规律，使问题大大简化的意义：4.带电载流子——电子与空穴半导体材料中可以用来传导电流的微观粒子称为载流子，包含电子和空穴两大类。

（1）电子

我们关心的主要是位于导带底部的这些可以在电场作用下做定向运动并能够传导电流的电子。电子电流密度可以表示为：是E引起的电子速度的改变量。对于每个电子，由于受到散射，不同，但大量电子的平均值在一定外场下是确定的。假定平均自由时间为,则：从而

价带中大量电子的电流，原则上也可用上面的方法求，但计算相当复杂且不为常数，所以实际上不可能。所以引入了“空穴”的概念。（2）空穴假设半导体材料中价带顶部的空位浓度为P0,价带中全部电子在E作用下产生的电流密度为Jp,若将空态全部填满电子，这些电子（mn<0）在E作用下产生的电流为J’p,又因为全满带中的电子不导电：Jp+J’p=0得：Jp=-J’p=令则价带全部电子在外场作用下产生的电流密度为：对比：上述结果表明：价带顶有P0个空态（空位）时，价带中全部电子在外场作用下所产生的电流可等效为P0个具有正电荷e,正有效质量mp,速度为V(k)的经典粒子所产生的电流，这种粒子称为空穴。引入空穴概念的意义：

用少量空穴的运动等效价带中大量电子的集体运动，从而使问题变得和处理导带电子的问题一样简单。

空穴的特征：

(1)荷电量与电子相等，但符号相反，及荷+e.

(2)有效质量符号为正，数值上等于价带顶空态对应

的电子有效质量，即mp=-mn

(3)浓度等于空态浓度P0

(4)波矢为－K,准动量为－hK5.金属、绝缘体与半导体

（1）绝缘体：价带满、导带空，禁带宽度比较宽

（3.5－6eV以上）的固体材料；绝缘体的能带情况（2）半导体：导带底有少量电子或价带顶有少量空穴，禁带宽度在1eV左右的晶体材料，其电阻率可在很大范围内改变；（3）金属导体：金属材料最大的特点就是其电阻率极低，其能带结构主要分为以下两大类，半满型和交叠型。6.动量空间（k空间）的概念和E~k关系图对于自由粒子来说，其能量E和动量p之间满足下述关系：对于实际的半导体晶体材料来说，由于周期性晶格势场的影响，其中的电子能量E与其动量p之间的E~k关系要更为复杂。

左图为金刚石结构晶格中沿着[100]和[110]方向的原子排列示意图。可见对于实际晶体材料来说，其E~k关系与晶格方向有着密切关系。右图为砷化镓晶体材料沿着[100]和[111]方向的E~k关系示意图。砷化镓材料导带的最低点与价带的最高点都位于k=0点，具有这种能带结构的半导体材料称为直接带隙半导体材料，电子在不同能带之间的跃迁没有动量的改变，这对于半导体的光电特性具有重要意义右图可知，硅材料导带的最低点位于[100]方向，其价带的最高点仍然位于k=0点，具有这种能带结构的半导体材料称为间接带隙半导体材料，此时电子在不同能带之间的跃迁涉及到动量的改变，除了必须满足能量守恒之外，还必须要满足动量守恒§2.4态密度函数的概念

能带（导带和价带）是由大量密集的分立能级所组成的，单位体积的晶体材料中，单位能量间隔区间内的量子态数量称为态密度。以三维无限深势阱来近似描述晶体材料，应用薛定谔方程，我们可以求得单位体积晶体材料（cm-3）中，单位能量间隔区间内（eV-1）的量子态密度分布函数为：其单位通常为：cm-3eV-1对于导带中的电子来说，其态密度分布为：其中，E>EC，mn*为导带中电子的态密度有效质量。而对于价带中的空穴来说，则其态密度分布为：其中，E<EV，mp*为价带中空穴的态密度有效质量。当EV<E<EC时，则为禁带,在此能量区间g(E)=0导带中电子的态密度分布函数gC(E)和价带中空穴的态密度分布函数gV(E)随着能量E的变化关系.当电子的态密度有效质量与空穴的态密度有效质量相等时，二者则关于禁带中心线相对称。§2.5统计力学简介

在处理有关大量微观粒子的系统时，我们关心的主要是大量微观粒子所表现出的规律，而不是具体某个微观粒子的特性。关心的是微观粒子在不同能级上的分布情况统计规律：（1）麦克斯韦－玻尔兹曼统计分布函数；

不同微观粒子之间相互可以区分，每个能态上所允许存在的粒子数量不受限制。主要适用于经典粒子的能量分布，例如在一个低压密闭容器中的气体分子就遵循麦克斯韦－玻尔兹曼统计分布规律。（2）费米－狄拉克统计分布函数；

不同微观粒子之间相互无法区分，并且每个量子态上只允许存在的一个微观粒子。费米子，服从泡利不相容原理，例如，晶体中的电子就遵循费米－狄拉克统计分布规律。2.费米－狄拉克分布函数与费米能级：

晶体中的电子遵循费米－狄拉克统计分布规律。费米－狄拉克统计分布函数为：上式中，N(E)为单位体积的晶体材料中，单位能量间隔区间内存在的微观粒子数量，g(E)为单位体积的晶体材料中，单位能量间隔区间内所具有的量子态数量。fF(E)就称作费米－狄拉克统计分布函数，它反映的是能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率。而EF则称为费米能级。费米－狄拉克统计分布函数为：T=0K时的费米－狄拉克统计分布函数：

如下图所示。在T=0K条件下，当E<EF时，fF(E)=1；而当E>EF时，fF(E)=0；

注意：费米能级EF反映的是电子在不同能态上的填充水平，但并不一定对应于某个具体的能级。当温度高于绝对零度时，电子分布情况的改变可以通过费米－狄拉克分布函数的改变来反映。

T>0K时，E>EFfn(E)<1/2;

E=EF,fn(E)=1/2;

E<EFfn(E)>1/2。T=0K时，13个电子在不同能级、不同量子态上的分布示意图。当温度高于绝对零度时，部分电子将获得一定的热运动