山西省阳泉市第二中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析

山西省阳泉市第二中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图像顶点在第四象限，则其导函数的图像可能是参考答案：A略2.给出下面四个类比结论①把与类比，则有；②把与类比，则有；③实数、，若，则或；类比向量、，若，则或；

④向量，有；类比复数，有.其中类比结论正确的命题个数为（）A.

0

B.

1

C.

2

D.

3参考答案：D略3.i是虚数单位，则=（）A．3+i B．3﹣i C．1﹣3i D．﹣3﹣i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.已知函数，则（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】先求，再求，即得结果.【详解】依题意得，故选：B【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.5.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(－X)的值为()A. B.－ C. D.－参考答案：D本题考查二项分布的含义和性质.若则，其中是常数;因为，所以故选D6.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

） A. B. C. D.参考答案：B7.圆心为O（﹣1，3），半径为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+3）2=2 B．（x+1）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣1）2+（y+3）2=4 D．（x+1）2+（y﹣3）2=2参考答案：B【考点】圆的标准方程．【分析】以（a，b）为圆心，r为半径的圆是：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，结合题意，将圆心坐标，半径值代入即可得答案．【解答】解：∵圆的圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，∴圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣3）2=4．故选：B．8.曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（

）A.

1

B.

2

C.

D.

3参考答案：A9.飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km）∴在△ABC中，BC==20sin18°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．故选D．10.在-1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则(

)A.a=2，b=5 B.a=-2，b=5

C.a=2，b=-5 D.a=-2，b=-5参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是________．参考答案：52略12.已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A）

对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B）

对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C）

对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）参考答案：（B）（D）13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取出两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为_________。

参考答案：14.在平面直角坐标系中,已知焦点为的抛物线上的点到坐标原点的距离为,则线段的长为

．参考答案：15.在区间上随机取一个数，使成立的概率为

．参考答案：16.（4分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_________m3．参考答案：417.曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为＿＿＿＿．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.参考答案：（1）证明：∵底面，且底面，∴

…1分由，可得

…………2分又∵，∴平面

…………3分又平面，∴

…………4分∵,为中点，∴

…………5分∵，平面

…………6分（2）解法1：如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.则

…………7分.

…………8分设平面的法向量.由，，得，即……………（1）……………（2）取，则，.……………10分取平面的法向量为则，故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.

…………12分

解法2：取的中点，的中点，连接，

∵为的中点，，∴.

∵平面，平面∴.

……………7分

同理可证：.

又，∴.…………8分则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）又，，平面∴，∴

…………9分又∵，∴平面由于平面，∴而为与平面的交线，又∵底面，平面为二面角的平面角

…………10分根据条件可得，在中，在中，由余弦定理求得

…………11分故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.

…………12分19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴上的两个顶点为A，B（A在B的上方），且四边形AF1BF2的面积为8．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）椭圆C的离心率，可得b=c，四边形AF1BF2是正方形，即a2=8，b=c=2．

（2）将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），MB方程为：y=，则G（，1），欲证A，G，N三点共线，只需证，，共线，即只需（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）即可．【解答】解：（1）∵椭圆C的离心率，∴b=c，因此四边形AF1BF2是正方形．…∴a2=8，b=c=2．

…∴椭圆C的方程为．

…（2）证明：将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，…△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k．由韦达定理得：①，xM?xN=，②…设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），MB方程为：y=，则G（，1），…∴，，…欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，即（kxN+2）=﹣xN成立，化简得：（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证．

…20.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．⑴求的值；⑵若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：解：(1)因为时，所以；(2)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，补充说明：也可进而多项式求导令得函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值

略21.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）写出曲线C的普通方程;（2）若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围.参考答案：(1).(2).分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线的普通方程为.(2)联立直线的参数方程与C的二次方程可得.结合直线参数的几何意义有.利用三角函数的性质可知的取值范围是.详解：(1)由得.将，代入上式中,得曲线的普通方程为.(2)将的参数方程(为参数)代入的方程,整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且.设方程的两根为,则，，所以,所以.由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.(本小题10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(其中t为参数）.现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标