山西省长治市黎城县西井中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

山西省长治市黎城县西井中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；换元法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质将条件进行化简，结合一元二次函数的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：=（）2﹣2?（）+3=（﹣1）2+2，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（1，1），则点A（1，1）在直线x+y＜a内，即a＞1+1=2，由得．即B（1，a﹣1），AC对应直线为y=x，斜率k=1，则k=的最大值为k=a﹣1，则1≤k≤a﹣1，（a≥2），则当=a﹣1时，取得最大值为6，即（a﹣1﹣1）2+2=6，即（a﹣2）2=4，解得a﹣2=2或a﹣2=﹣2，即a=4或a=0（舍），故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式函数的性质结合一元二次函数的单调性和最值的关系是解决本题的关键．综合性较强．2.设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面．有下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中错误命题的序号是（

）A.①④

B.①③

C.②③④

D.②③参考答案：A3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：B由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则，，所以.故选B.

4.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A，B，C三点，若|BC|=3|BF|，且|AF|=3，则该抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值，进而可得方程【解答】解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则|BC|=3a，|BD|=a，∴，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+4a，∴3|AE|=|AC|∴3+4a=9，即a=，∵BD∥FG，∴，，解得p=2，从而抛物线的方程为y2=4x．故选：C．5.已知i为虚数单位,若复数i，i，则

A．i

B.i

C.i

D．i参考答案：A略6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．E5F3

【答案解析】B

解析：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，?=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，?=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，?=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故选B.【思路点拨】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到?的取值范围．7.函数=（）的反函数是

A．

（）

B．

（）

C．

（）

D．

（）参考答案：D8.若全集为实数集，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（

）A．0.25 B．0.2 C．0.35 D．0.4参考答案：A由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：、、、、．共组随机数，∴所求概率为．10.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M,N关于原点对称，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，则，当时，，当，，故，由，，故当时，故的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查了图象的对称性，以及运用导数求函数的单调区间，极值的求解，在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，∠B=300，AC=1，，则BC的长度为_____.参考答案：1或212.对于，将表示为，当时，；当时，为0或1.定义如下：在的上述表示中，当中等于1的个数为奇数时，；否则.则

．参考答案：依题意有，；，；，；，.故.13.已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为

▲

参考答案：因为是定义在上的奇函数，所以易知时，解不等式得到的解集用区间表示为14.(x－)展开式中x的系数是

(用数字作答)参考答案：1015.将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于x=对称，则=(

)A.- B.- C. D.参考答案：B【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.16.在△ABC中，已知，△ABC的面积为，则c＝＿＿＿参考答案：．由得，又得．17.某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元）2345利润y（单位：万元）26●4954根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为

．参考答案：49考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：设●为a，求出=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，即可求得a的值．解答： 解：设●为a，则由题意，=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，∴a=49故答案为：49．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），令f′（3）=0，解得a，经过验证即可．（ⅠI）先求出函数的导数，再分别讨论①当0＜a＜1时，②当a=1时③当a＞1时的情况，从而求出函数的递减区间；（ⅡI）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时的函数的单调性，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=﹣ax+1﹣，令f′（3）=0，解得a=．经过验证满足条件．（II）令f′（x）==0，解得x1=0，或x2=．①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化情况如表x（﹣1，0）0（0，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减极小值增极大值减所以f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；单调递增区间为：．②当a=1时，x1=x2=0，f′（x）=﹣≤0，故f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）．③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表x（﹣1，﹣1）﹣1（﹣1，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减极小值增极大值减所以f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞），单调递增区间为：．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；单调递增区间为：．当a＞1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）；单调递增区间为：．当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）．（ⅡI）由（ⅠI）可知：①当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意；②当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意．∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．19.某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．参考答案：（1）；（2）．（1）设分之间的人数是，由分数段的人数为2人，可知，得．（2）依题意，第一组共有人，记作、、、；第五组共有2人，记作、．从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：、、、、、、、、、、、、、、．设事件：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故．20.设三角形的内角的对边分别为

,．（1）求边的长；（2）求角的大小；（3）求三角形的面积。参考答案：（1）；（2）

；（3）本试题主要是考查了解三角形的求解，和三角形的面积公式。（1）依正弦定理有

又，∴（2）依余弦定理有，又＜＜，∴得到三角形的面积公式。解：（1）依正弦定理有…………1分又，∴

…………3分（2）依余弦定理有………5分又＜＜，∴

…………6分（3）三角形的面积………………9分21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间高考资源网；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且且的面积为，求边的值.参考答案：(I)==令，得 ,f(x)的递增区间为。

………………6分(Ⅱ)由,得①……………10分由余弦定理得……………12分22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,,，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：（I）见解析；（II）；（Ⅲ）答案见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合三角形中位线的性质和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后结合法向量可得二面角的余弦值；(Ⅲ)假设存在满足题意的点，由题意结合点的坐标和向量垂直的充