山西省长治市闫寨中学2021年高三数学文测试题含解析

山西省长治市闫寨中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）A．8 B．10 C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为，可得，c==，a=2，b=．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'，则|PF|=|PF'|+4，△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3，当P点在第一象限时，|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3，故△PAF的周长的最小值为10．故选：B．2.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（A） （B） （C） （D）参考答案：D3.已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数参考答案：C【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）最小正周期T=．∴A对．令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），∴C不对．令2x+≤上单调递增，可得：，∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．故选：C．4.等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是,则正视图中的值是A.2

D.

3参考答案：C6.在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（

▲

）A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．上述三种情况都有可能参考答案：B【知识点】平面向量的数量积及应用F3以BC所在的边为x轴建立坐标系，设A的坐标为（a,b）B(0,0)，C（5,0），G(,m)则（5,0）,=(，m-),由得（）.5=5，a=-,则为负值，所以为钝角三角形。【思路点拨】得（）.5=5，a=-,则为负值，得钝角三角形。7.函数的图象大致为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】首先求出函数的定义域，然后判断奇偶性，再考虑时，函数的单调性，用排除法进行选择.【详解】函数的定义定义域为，，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B，当时，，故可排除C;当时，，显然当时，，函数是单调递减的，可排除D，故本题选A.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此问题可以从定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性入手，易采用排除法，有时找特殊点、特殊值也是常用的方法.

8.把函数的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2、若对任意的u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（）A．2B．4C．6D．8参考答案：B略9.已知集合A=，集合B=，则AB=（

）

A.（0,1）

B.[0,1]

C.(0,1]

D.[0,1)参考答案：C略10.如图所示的算法流程图中，若f（x）=2x，g（x）=x3，则h（2）的值为（）A.9

B.

8

C.

6

D.4参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设复数（为虚数单位），则.参考答案：由得。12.设函数，若，则实数的取值范围是

．参考答案：

13.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士?帕斯卡的著作介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B.在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：，其中n是行数，.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．参考答案：分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子，有．故答案为．点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为

。参考答案：15.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则等于

参考答案：16.已知为等差数列，公差为，且是与的等比中项，是的前项和，则的值为_____.参考答案：【知识点】等差数列【试题解析】由题知：解得：

所以17.已知向量=(2,3),=(m,-6),若⊥,则|2+|=__________.

参考答案：13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．

⑴设，求证是等腰三角形；⑵设向量,，且∥,若，求的值．参考答案：19.（本小题满分12分）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（1）求的值（2）求在区间上的最小值.参考答案：（1）因为所以在函数的图象上又，所以所以

（2）因为，其定义域为

当时，，所以在上单调递增所以在上最小值为

当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为

当时，即时,对成立，所以在上单调递减，其最小值为

当,即时,对成立,对成立

所以在单调递减,在上单调递增

其最小值为综上，当时，

在上的最小值为

当时，在上的最小值为

当时,

在上的最小值为.略20.（本小题满分8分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值；（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．参考答案：【答案解析】（1）（2）解析：（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．

………….3分（2）如图所示，由（1）可知：CE⊥平面A1ED，∴∠A1ED为A1﹣EC﹣D的二面角的平面角，且为45°．取CE的中点O，连接BO、MO，由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，=1，∴MO⊥CE；在等腰Rt△EBC中，CO=OE=，则BO⊥CE．，∴∠MOB为二面角M﹣EC﹣B的平面角；由图形可知：二面角A1﹣EC﹣D与二面角M﹣EC﹣B互补，因此二面角M﹣EC﹣B的平面角为135°．又OB=，在△MOB中，由余弦定理可得MB2==5．∴．………….8分.【思路点拨】求直线与平面所成的角一般先利用定义寻求出其平面角，再利用三角形求解，对于翻折问题，注意翻折前后的垂直的对应关系及长度的对应关系..21.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备乙套设备合计合格品

不合格品

合计

（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（Ⅲ）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.参考答案：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表

甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100...........................................................................3分将列联表中的数据代入公式计算得...............5分∵∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关................6分（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备..................9分（Ⅲ）由题知，................................................11分∴......................................................12分22.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），且函数f（x）的最大值为2，最小正周期为，并且函数f（x）的图象过点（，0）．（1）求函数f（x）解析式；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（）=2，c=，求a+2b的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由函数最大值为2，确定出A的值，由最小正周期求出ω的值，将已知点坐标代入求出φ的值，即可确定出f（x）解析式；（2）由f（）=2，求出C的度数，利用正弦定理求出2R的值，所求式子利用正弦定理化简，整理后利用余弦函数的值域求出范围即可．【解答】解：