山西省长治市长钢中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

山西省长治市长钢中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设

是两个实数，则“

中至少有一个数大于1”是“

”成立的

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充分必要条件

(D)既非充分又非必要条件参考答案：D2.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是（

）A．B．

C．

D．参考答案：B3.已知圆C：x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线y2=8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PC|的最小值为(

) A．5 B． C．﹣2 D．4参考答案：B考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据根据抛物线的定义可知，P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，可知当P，Q，F三点共线时，m+|PC|取得最小值．解答： 解：圆C：x2+y2+6x+8y+21=0即（x+3）2+（y+4）2=4，表示以C（﹣3，﹣4）为圆心，半径等于2的圆．抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，C，F三点共线时，m+|PC|的最小值为：|CF|==，故选：B．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归等数学思想，属于中档题．4.在某次自主招生中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的众数，中位数，平均数分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】本题首先可以根据哪一组人数最多来得出众数，然后根据总人数来确定中位数，最后通过用所有人的总成绩除人数即可得出平均数，三者比较，即可得出结果。【详解】由题意可知，分数50的人数最多，所以众数；因为总人数为90，所以中位数为第45人以及第46人的成绩的平均数，所以中位数；由平均数性质可知平均数，综上所述，，故选A。【点睛】本题考查平均数、众数、中位数的相关性质，主要考查平均数、众数、中位数的计算方法，考查学生从图表中获取信息的能力，体现了基础性，是简单题。5.函数的定义域为A.

B.C.

D.参考答案：D略6.若三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】说明P在底面上的射影是AB的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由题意，点P在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，由于AD=1，PD==，则（﹣R）2+12=R2，解得R=，则S球=4πR2=故选A．7.数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10 B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10 D．a3+a9与b4+b10大小不确定参考答案：B【考点】数列的函数特性．【分析】由于{bn}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{an}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{bn}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{an}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．故选：B．8.已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.执行如图的程序框图，则输出的值是(

)A．－2

B．0

C．

2

D.－2或0参考答案：A10.设函数的导函数为，若为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则的图像可能为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________.参考答案：12.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为

参考答案：略13.双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于

.参考答案：略14.已知函数为奇函数，则

.参考答案：4考点：函数的奇偶性．15.若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为

参考答案：

16.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为

（结果用最简分数表示）.参考答案：从袋中任意取两个球，共有种。若编号为奇数，则有种，所以编号的和是奇数的概率为。17.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）将数字分别写在大小、形状都相同的张卡片上，将它们反扣后（数字向下），再从左到右随机的依次摆放，然后从左到右依次翻卡片：若第一次就翻出数字则停止翻卡片；否则就继续翻，若将翻出的卡片上的数字依次相加所得的和是的倍数则停止翻卡片；否则将卡片依次翻完也停止翻卡片．设翻卡片停止时所翻的次数为随机变量，求出的分布列和它的数学期望．参考答案：解析：由题意知=，表示仅翻了张卡片，则翻出的一定是写有的卡片，∴；=，表示依次翻了张卡片，若用有序数组表示这个事件所包含的结果，其中，分别表示第一次、第二次翻出的卡片上的数字，且是的整数倍，此时共有以下四种情形、、、，试验所包含的结果总数为∴；=，表示依次翻了次卡片，同理用有序数组表示这个事件所包含的结果，其中，且不是的整数倍，只有是的整数倍．此时共有以下四种情形、、、，试验所包含的结果总数为

∴；=，表示依次翻了次卡片，用有序数组表示这个事件所包含的结果，其中，且、都不是的整数倍，此时共有以下六种情形、、、、、，试验所包含的结果总数为∴．∴的分布列为

…12分19.（本小题满分14分）

已知函数．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）当时，若函数在上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求．参考答案：（Ⅰ）当时，，．由可得或；由可得．故函数在区间，上单调递增；在区间上单调递减．故函数在处取得极大值；在处取得极小值．····4分（Ⅱ）当时，，则，函数在上单调递减，则有：解得，故实数m的取值范围是．·······································································8分（Ⅲ）设切点，则切线的斜率，又，所以切线的方程是，又切线过原点，则：，∴，解得，或．·······································10分两条切线的斜率为，，且，由，，得，，∴，所以，··································12分又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且．故函数．········································14分略20.已知为椭圆的左、右焦点，点为其上一点，且有．（I）求椭圆的标准方程；（II）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值．参考答案：（I）设椭圆的标准方程为由已知得，又点在椭圆上，椭圆的标准方程为…………4分（II）由题可知，四边形为平行四边形

=4设直线的方程为，且由得…………6分

=+==

==…………8分令，则==，…………10分又在上单调递增

的最大值为的最大值为6.…………12分21.已知数列满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和．参考答案：（Ⅰ）；

（Ⅱ）

略22.（本题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题．答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．参考答案：【解】设乙的得分为，的可能值有

.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．5分乙得分的分布列为：

．．．．．．