山西省长治市虎亭中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试题含解析

山西省长治市虎亭中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，与函数y=x(x≥0)是同一函数的是

（

）A．y=

B．y=()2

C．y=

D．y=参考答案：B2.若集合A={1，2}，则集合A的所有子集个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】子集与真子集．【分析】根据n元集合有2n个子集，得到答案．【解答】解：集合A={1，2}，则集合A的所有子集个数是2n=4个，故选：B．3.如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是选项图中的（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图【解答】解：根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图是，故选C．4.某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（

）A.

2

B.

3

C.

5

D.

13参考答案：C5.设集合，，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B6.已知函数满足：对任意实数，当时，总有成立，则实数a的取值范围是（▲）A．(1,3)

B.(0,3)

C.

D.参考答案：C7.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5参考答案：B【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B8.如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，一动点M从圆上的点A（0，1）开始按逆时针方向绕圆运动一周，记走过的弧长为x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．9.设数列为等差数列，且的前n项和，则（）参考答案：A试题分析：考点：等差数列性质10.若，且，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数分别由下表给出：

x123f(x)131x123g(x)321

则的值

；满足的的值

.参考答案：1,2.12.如图是函数的部分图象，已知函数图象经过两点，则

．参考答案：由图象可得，∴，∴，∴．根据题意得，解得．

13.若向量两两所成的角相等，且，则||=

参考答案：5或2略14.已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，则3+2=．参考答案：（14，7）【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量平行的坐标表示，求出m的值，再计算3+2即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（m，2），且∥，∴1?m﹣2×2=0，解得m=4，∴=（4，2）；∴3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）．故答案为：（14，7）．15.一样本a,3,5,7的平均数是b，且a,b是方程的两根，则这个样本的方差为________.参考答案：5

16.如图，已知两个正方形和不在同一平面内，平面平面，分别为的中点，若两个正方形的顶点都在球上，且球的表面积为，则的长为

参考答案：17.已知，，，则的最小值为______．参考答案：4【分析】将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为：4．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．参考答案：考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析： （1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答： （1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.已知函数，．（1）当时，求的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围．参考答案：（1）时，由，当时，有最小值为，当时，有最大值为………………6分（2）的图象的对称轴为，由于在上是单调函数，所以或，………………8分即或，所求的取值范围是………………12分20.（本小题满分12分）已知：空间四边形，，，E是BC的中点,求证：．参考答案：略21.设函数，，且对所有的实数，等式都成立，其、、、、、、、，、．（1）如果函数，，求实数k的值；（2）设函数，直接写出满足的两个函数；（3）如果方程无实数解，求证：方程无实解．参考答案：（1）；（2），，答案不唯一；（3）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件直接代入计算即可；（2）验证满足条件，再者若，则等式也满足，由此可得出符合条件的函数的两个不同的解析式；（3）假设方程有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立.【详解】（1），，则，，，，解得；（2）若，则，，此时；若，则，，此时.所以，当时，满足的函数的两个解析式可以是，（答案不唯一）；（3）假设方程有实数解，设，则，，两式相减得，所以，，由零点存在定理可知，存在，使得，无实根，则永远不成立，推出假设不成立.所以，方程无实数解，方程也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.

22.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，且，求的值.参考答案：（1）最小正周期为，单调递减区间为（2）.【分析】（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数的解析式化为，利用周期公式可得出函数的最小正周