山西省长治市潞城黄牛蹄中学2021年高一数学理月考试卷含解析

山西省长治市潞城黄牛蹄中学2021年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中与函数表示的是同一函数的是（）

（A）

（B）

（C）

（Ｄ）参考答案：D略2.A． B． C． D．参考答案：A3.()

Ａ．

Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B略4.已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1） B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）参考答案：B【考点】指数函数的图象变换．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】把指数函数y=2x的图象向上平移1个单位，然后再结合y=2x的性质可得函数f（x）=2x+1的性质，则答案可求．【解答】解：函数f（x）=2x+1的图象是把y=2x的图象向上平移1个单位得到的．∴f（x）=2x+1的图象过点（1，1），在R上是增函数，图象不具有对称性，值域为（1，+∞）．综上可知，B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了指数函数的图象平移，是基础题．5.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:

①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)=.

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

参考答案：解析：从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1)(※※)

∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.

(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1)=2x－x,由此可知②正确

(3)由已知条件以及结果①②得,又f()=,∴f()≠f(－)

∴f(x)不是偶函数即③不正确;

(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)=f()=故④不正确.

于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.6.如图，在△ABC中，面ABC，，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（

）A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：C试题分析：因为面，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C．考点：空间中垂直关系的转化．7.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A．P在AC边上 B．P在AB边上或其延长线上C．P在△ABC外部 D．P在△ABC内部参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用条件，结合向量的线性运算，可得，由此即可得到结论．【解答】解：∵∴=∴∴∴P在AC的三等分点上故选A．8.已知函数，则的（

）A.最小值为3

B.最大值为3

C.最小值为

D.最大值为参考答案：D9.函数，，若函数在上为减函数，则实数的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：C∵，若在上为减函数，∴，∴，选择．10.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A． B． C．1﹣ D．1﹣参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件B为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件B构成的区域面积，由几何概型可得P（B），进而由对立事件的概率性质，可得答案．【解答】解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件B为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4，则事件B构成的区域面积为S（B）=3××π×12=，由几何概型的概率公式得P（B）=，P（A）=1﹣P（，B）=1﹣，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给定集合，，若是的映射，且满足：①任取，，若，则；②任取，若，则有．则称映射为的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射是一个“优映射”．表1123231（）若是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．12345

4

（）若是“优映射”，且，则的最大值为__________．参考答案：（1）1234523415或1234523451或1234532415或1234532451（2）2020．（1）由优映射定义可知：，，∴，；或，．∴表2有以下几种可能：1234523415或1234523451或1234532415或1234532451（2）根据优映射的定义：是一个“优映射”，且，则对，只有当，时，取得最大值为．12.已知正数x，y满足xy=1，则x2+y2的最小值为．参考答案：2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x，y＞0，xy=1，可得x2+y2≥2xy，即可得到所求最小值．【解答】解：正数x，y满足xy=1，则x2+y2≥2xy=2，当且仅当x=y=1时，取得最小值，且为2．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．13.已知函数是定义在为增函数，若，则的取值范围为

。

参考答案：略14.已知幂函数过点，则=_______________参考答案：

15.若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα=

．参考答案：-2【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由三角函数的定义，tanα=，求出值即可【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴tanα=．故答案为：﹣2．16.设变量，满足

则的最小值是_____．

；参考答案：17.（4分）已知cosα=﹣，α∈（，π），则sin（α﹣）=_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知（Ⅰ）化简；（Ⅱ）若，且是第二象限角，求

参考答案：解：（Ⅰ）

………………6分（Ⅱ）由得，………………8分又是第二象限角所以……10分则…12分

19.已知函数f（x）=x+ （1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数． 参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）先求f（x）定义域为{x|x≠0}，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），从而f（x）为奇函数； （2）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2≥2，然后作差，通分，提取公因式x1﹣x2，从而证明f（x1）＞f（x2），这便可得出f（x）在[2，+∞）上是增函数． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}； f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x）； ∴f（x）为奇函数； （2）证明：设x1＞x2≥2，则： =； ∵x1＞x2≥2； ∴x1﹣x2＞0，x1x2＞4，； ∴； ∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在[2，+∞）上是增函数． 【点评】考查函数奇偶性的定义，以及判断函数奇偶性的方法和过程，增函数的定义，及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2． 20.已知函数在上的最大值与最小值之和为，记。（1）求的值；（2）证明；（3）求的值参考答案：解：（1）函数在上的最大值与最小值之和为，∴，得，或（舍去）………（4分）（2）证明：由（1）∴……………（9分）略21.某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？参考答案：解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为，频率分布直方图如图所示：（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），（10分）其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（B1，B2），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），9中可能，所以其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的概率为．略22.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案：（1）奇函数，（2），(3)【详解】（1）函数为奇函数．当时，，，∴∴函数为奇函数；（2），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，