山西省长治市武乡县第二中学2023年高二数学理月考试卷含解析

山西省长治市武乡县第二中学2023年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列正确的个数是（

）(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。(2)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。(3)一个样本的方差是s2=[(x一3)2+-(X—3)2+…+(X一3)2]，则这组数据的总和等于60.(4)数据的方差为，则数据的方差为A.4

B.

3

C.2

D.

1参考答案：A2.观察下列各式：得到的末位四位数字为(

)A.3125

B.5625

C.0625

D.8125参考答案：D3.已知F1，F2为双曲线C：x2﹣2y2=1的左右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2=120°，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F1（﹣，0），F2（，0），由余弦定理可得PF1?PF2，由S=PF1?PF2sin120°，求得△F1PF2的面积即为所求【解答】解：由题意可得双曲线C：x2﹣2y2=1，a=1，b=，c=，得F1（﹣，0），F2（，0），又F1F22=6，|PF1﹣PF2|=2，由余弦定理可得：F1F22=PF12+PF22﹣2PF1?PF2cos120°=（PF1﹣PF2）2+3PF1?PF2=4+3PF1?PF2=6，∴PF1?PF2=∴△F1PF2的面积S=PF1?PF2sin120°=，故选D．【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF1?PF2的值，是解题的关键．4.已知等差数列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么公比为

(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略5.已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（

）

A．3或－1

B．0或2

C．0

D．－1参考答案：D6.过作圆的弦，其中弦长为整数的弦共有（▲）A．74条B．72条C．37条 D．36条参考答案：B7.下列函数中，既是奇函数又在区间（0．+）上单调递增的函数是（

）

A．y=1nx

B．y=x3

C．y=2|x|

D．y=sinx参考答案：B略8.给出函数的一条性质：“存在常数，使得对于定义域中的一切实数均成立”，则下列函数中具有这条性质的函数是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略9.直线的倾斜角为 （

）A．

B．

C．

D.参考答案：A10.已知向量，向量与的夹角都是，且，则=（

）A.

6

B.

5

C.

23

D.

8参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点A、F（c，0）分别是双曲线的右顶点、右焦点，直线交该双曲线的一条渐近线于点P．若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得A（a，0），P（，），运用两点的距离公式，化简整理，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：显然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得A（a，0），P（，），可得=c﹣a，化简为e2﹣e﹣2=0，解得e=2（﹣1舍去）．故答案为2．12.已知数列的前项和，那么它的通项公式为=_______

.参考答案：

13.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.参考答案：略14.如果随机变量X～N(-1,σ2)，且P(-3≤X≤-1)＝0.4，则P(X≥1)＝________．参考答案：0.1略15.如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率．【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0，整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．∵|MF2|=|F1F2|，∴﹣c=2c．∴c2=3b2=3（c2﹣a2），∴c2=a2，∴e==．故答案为：．16.双曲线的渐近线方程为________．参考答案：略17.古埃及数学中有一个独特的现象：除用一个独特的符号来表示外，其他分数都可以表示为若干个单位分数的形式。例如，可以这样理解：假定有两个面包要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得。形如的分数的分解：，，，按此规律，则参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．参考答案：略19.已知椭圆的离心率为，且过点。（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点做斜率为的直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。参考答案：【解】（1），所以椭圆方程为；3分（2）由（1）知，设的方程为，将直线方程与椭圆方程联立：，整理得………4分设交点为，则。若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，由于菱形对角线垂直，所以…………………7分又，又的方向向量是，故……………………9分，则，即由已知条件知…………10分由得到，故存在满足题意的点，的取值范围是。………12分

略20.设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆与y轴的一个交点坐标为（0，）．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线y=（x﹣m）交椭圆与A，B两点，椭圆上一点C（，1），求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率e==，由b=，b2=a2﹣c2，得a=2，c=，故椭圆M的方程为+=1；（Ⅱ）联立方程，得2x2﹣2mx+m2﹣4=0，由△=4m2﹣8（m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．且x1+x2=m，x1x2=，所以|AB|=?=?=?．又C到直线AB的距离为d==，所以S△ABC=|AB|d=≤?=，当且仅当m=±2∈（﹣2，2）时取等号，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．21.（本小题满分13分）

已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）对任意N，是否存在正实数，使不