高中数学之不等式总结

（异向正数可除性）（异向正数可除性）ab0,0cdaaab⑥（平方法则）⑥（平方法则）ab0ab(nN,且n1)⑦（开方法则）⑦（开方法则）ab0ab(nN,且n1) ①（对称性）abba ②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）1）ab,c0acbc 2）ab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd

n

ab0

a;ab0

a

灵活记忆：ab且ab0a

1.若-1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是（） 2.a＞b

a

a

C.ab＞2b a

a2b22aba，bR

ab

ab

a2b2

ab,（当且仅当ab时等号成立）.

ab2ab

ab2ab .2

abc

3abc

(a、b、cR)（当且仅当abc时取到等号）.④a2b2c2abbccaa，bR（当且仅当abc时取到等号）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0) （当且仅当abc时取到等号）. a若ab0,则 2a

a若ab0,则2a

⑦a

am

anbn

ab，（其中ab0，m0，n0)⑧绝对值三角不等式ababab.a1b1

ab

ab

a2b2

，当且仅当ab时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.1(ax2)2(yy2)2(x1,y1,x2,y((ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.

ab2ab 2

a2b2

a2b2

(ab)2

a2a2...a2

a

)2.x2y2x2y2(x

2

借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。2 2 2 2 (a2a2a2)(b2b2b2)(a1b1 2 3 1 2

a2b2

a3b3)2.

(a2a2...a2)(b2b2...b2)(a1b

a2b2

...a

)2.

1x2),有

f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)

.例题：已知2x²+3y²≤6,求证：x+2y≤√11,,,, (a)2 (a)2;

2k

kk

kk1

kk1

++

a

xa

yb

求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)...f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)0f(x)g(x)0g(x) g(x)0

f(x)0f(x)a(a0)f(x)a2

f(x)0f(x)a(a0)f(x)a2

f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)0或g(x)0

f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x) ⑵当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

a1

a

f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)⑵当0a1时,

a

f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)

a (a0)aa(a0)

f(x)g(x)f2(x)g2(x).

xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0).解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.（韦达定理）⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时

a00.⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时

a00.⑶f(x)a恒成立

f(x)max

a;

⑷f(x)a恒成立

f(x)min

a.例题：1.不等式|x+log3x|＜|x|+|log3x|的解集为（） 2.若不等式|x-1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的范围是（） 3.已知a0且a1，关于x的不等式ax1的解集是(,0)，求关于x的不等式loga(x)0的解集．zz(xa)2(yb)2或z(xa)(yb).4.若不等式2x1m(x21)对满足|m|2的所有