高等数学 殷锡鸣22 极限(1-96)

§2.2

极限10极限理论的重要地位牛顿(1642——1727)莱布尼兹(1646——1716)创立微积分：柯西(1789——1857)维尔斯特拉斯(1815——1897)对极限给出了严格的定义：2º数列与收敛数列定义数列是以自然数集N

为定义域的函数,若记此函数关系为f,则就称为数列

,记为

{an}

,而an

称为数列的通项有界数列:对于数列如果存在M>0,使对一切n

有则称数列{an}为有界数列

,否则称为无界数列

单调数列:(1)若对一切n,有则称数列{an}为单调增数列

.(2)若对一切n,有则称数列{an}为单调减数列

本段我们讨论数列{an}的极限定义对任意的正数>0,存在N>0,当n>N

时,有则称当n

时,an

以A为极限,记作我们称有极限的数列{an}为收敛数列

,而不存在的数列称为发散数列数列极限的几何意义

当n>N

时,有解当时,我们证明:如果r=0,则rn

=0下设对任意的>0,要使只需故取则当n>N时,就有例对于数列,证明:当时为收敛数列

说明:(1)当r=1时,为收敛数列

(2)当r=-1时,由于其轮番地取-1或1,不接近于任何常数,故知为发散数列定理（数列收敛的必要条件）若则是有界数列,即存在M>0,使对任意n

都有证明由则对=1,存在N>0,使当n>N时,有于是有取则对任意的自然数n,有构成一数列定义在已给数列中,任意取出无限多项排成一列我们称为的子数列

定理对的任一子数列有说明:对于数列取则取则发散定理证明设则对任意>0,存在N>0,使当n>N时,有由于2N>N,2N+1>N,故可取K=N,使当k>K

时,就有2k>2K>N,2k+1>N,从而有即设则对任意>0,分别存在K1>0,K2>0,使当k>K1

时,有当k>K2

时,有取N=max{2K1,2K2+1},则当n>N

时,必有即30

自变量趋于有限值时函数的极限定义：设函数f(x)

在x0的某个邻域N(x0)(点x0可以除外)内有定义,A是一常数,若对任意给定的正数ε>0,使当时,有则称当时,f(x)以A为极限,记作总可找到一,说明：（1）为什么x0可以除外？（2）ε为什么要任意给定而不是给定一个？（3）存在一的意义是什么？是否唯一？极限定义的几何解释：

显然,在找到一个后,比其小的数都可作为定义中的

当x在x0的去心邻域时，函数y=f(x)图形完全在以直线y=A为中心线，宽为2的带区域例证明：因为当时，只要取的正数，此时当就有所以例证明：证明由于，故只需在x=2的邻近考虑问题不妨设由于为使只需让即可，因此可取则当就有所以证得例

证明：证明注意到及于是有所以可取由此证得例证明：证明由于所以证得故取例证我们证明不存在的点使可知在x=0的邻近,函数f(x)在-1与1之间无限震荡,不趋向于任何常数,所以极限不存在f(x)在x=0的邻近无限震荡引起极限不存在例证我们先证：对任取的,f(x)在上无界选取N>0,使,f(x)在x=0的邻近无界引起极限不存在30单侧极限右极限：如果保持x>x0,且

(简记为左极限：如果保持,且

(简记为定理（左、右极限与极限的关系）关于左极限、右极限与极限有以下的结论：极限存在，而且证明有由此证明了所以有例解40

自变量趋向无穷大时函数的极限问题：当自变量x

趋向无穷远处时，研究函数y=f(x)的变化趋势自变量x

趋向无穷远处可分为以下三种情况：

-101xy

-101xy10x

y定义：说明：(1)

定义中的M不是唯一的,与ε有关,重要的在于存在性在方向的水平渐近线的水平渐近线在方向的水平渐近线与单侧极限类似有以下定理定理说明：y=A是曲线

y=f(x)的水平渐近线的充要条件是y=A既是方向的又是方向的水平渐近线例证明：解对任给的要使只需又于是让即取则当时，就有所以50

极限的性质定理（唯一性定理）如果极限存在，则此极限值是唯一的证明用反证法设时,函数f(x)有两个不同的极限,即且不妨设的情形类似证明)对于存在同样地,存在取

同时有不等式成立

即矛盾,假设不成立,证毕于是得定理（局部有界性定理）时,有证明由根据极限的定义,对于,存在有于是结论成立定理

(局部保序性定理)证明由故对存在有可得又由存在有即有现取有定理证毕若定理中的g(x)=0,

则有以下的推论注意：局部保号性的逆定理未必成立反例但是推论

(局部保号性定理)则存在

x0的某去心邻域使得

f(x)在此邻域内与A

保持同号,

即存在尽管如此,仍有以下结论推论

且在x0

的某去心邻域内恒有,则有证明利用反证法及局部保号性定理即可证得说明：以上三个定理及推论对x

的其他趋限过程：及数列极限继续成立60无穷小(量)无穷大(量)我们注意到：因此以零为极限的量具有特殊的重要性无穷小(量)的定义：若则称函数f(x)在时是一无穷小(量)说明：（1）无穷小并不是一个可任意小的量，它只是当时可任意小，即无穷小是和自变量的某趋限过程联系在一起的（2）定义中的可换成其它的趋限过程：定理（极限基本定理）其中是时的无穷小说明：定理对其它趋限过程及数列仍然成立(3)定义也适用于数列的情况无穷小的运算性质：定理有限个无穷小量的和也是无穷小量(同一趋限过程中)证明我们仅对的过程给出证明,其余过程同理可证.而且只需对两个的情形加以证明就够了(剩余用数学归纳法)设令,要证因为由对任意的分别存在故取从而证明了定理若是时的无穷小,而f(x)

在上有界,则也是时的无穷小,即有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积是无穷小.说明：以上定理中的“有限个”不能换成“无穷多个”.“有限”与“无限”是有本质区别的

无穷大(量)的定义：(1)设函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义,如果对任意的正数M>0,存在使当时,有则称f(x)为时的无穷大(量)

,记为(2)如果对任意的正数M>0,存在使当时,有则称f(x)为时的正无穷大(量)

,记为(3)如果对任意的正数M>0,存在使当时,有则称f(x)为时的负无穷大(量)

,记为说明：（1）无穷大并不是一个可任意大的量，它只是当时可任意大，即无穷大是和自变量的某趋限过程联系在一起的.（2）定义中的可换成其它的趋限过程：(3)定义也适用于数列的情况无穷大量的运算性质：（1）

若在x

的某趋限过程中f(x)是无穷大,则是无穷小（2）

若在x

的某趋限过程中f(x)是无穷小,且则是无穷大（3）在

x

的某趋限过程中,若f(x)是无穷大,g(x)是有界量,则f(x)+g(x)是无穷大,即,有界量加无穷大是无穷大（4）在x的某趋限过程中,若f(x)是无穷大,g(x)满足,则f(x)g(x)是无穷大说明：（1）有界量乘无穷大未必是无穷大!反例：（2）若或或则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线(3)无穷大量无穷大量无穷大量反例：

（4）反例：例（1）写出的定义；

(2)证明：在的过程中，

为一无穷大解(1)(2)

我们证明：对任给的不妨设G>1(不然可取来证)要使只需即故取则当时,有使当时,有所以70极限的运算法则定理(极限的四则运算法则)证明我们仅就的趋限过程证明结论(3),其余趋限过程类似可证其中记则有由于是无穷小,故为证r是无穷小,只需证是有界量即可由是无穷小且

存在使当时,有因此于是即是有界量,所以r是无穷小定理证毕故对说明：（1）定理结论成立的前提是：存在，否则定理不成立(2)结论(3)中不可缺条件否则结论不成立推论（1）若存在，c为常数，则有（齐次性）（2）若存在，则有其中k为正常数（3）定理结论对数列也成立(3)若为常数,存在,则有上式说明：极限运算具有线性运算性质例证明：解设，其中p>1.则利用及结论(3)

知结论成立所以得到：例计算解例计算解例计算解原极限定理（复合函数的极限法则）如果又存在某使对任意，有则有证明因为故对任意存在使当时,有又因故对这一存在

使当时,有取，则当时，且从而有因此说明：定理给出了极限变量代换的条件有定理（夹逼准则）如果则有设在某上有成立，证明由定理知其中对任意由有从而有即又因所以对任意，存在时,有使当时,有当故取，时,有则当由此证得定理

(数列夹逼准则)若存在N>0,使当n>N时,有且则也收敛,并且例利用夹逼定理证明重要极限：解因为，

不妨设作单位圆的切线AC，于是有因为1从而有所以即，由及夹逼定理得即当时，注意：与重要极限的区别利用重要极限计算极限举例：例计算解例计算解例计算解由复合函数极限法则有令则

当时,

有（习题(A)：4）.于是有定理

(单调有界准则)若函数f(x)是(a,b)区间内的单调有界函数,则极限与都存在.证明：（略）说明：结论对无穷区间或也成立定理

(单调数列收敛准则)(1)如果单调增数列{an}有上界,即则极限存在(2)如果单调减数列{an}有下界,即则极限存在说明:(1)定理可简述为:单调有界数列必有极限(2)定理指出极限存在,但没有指出a

的具体值等于多少解例如果计算显然对一切nN,an>0下证:对一切nN,an<3当n=1时,下设

,则有所以根据数学归纳法知,对一切nN,an<3单调增有上界收敛设在两边取极限,知a

满足即解得a=3或者a=-1(不合题意舍去),所以解例已知计算考虑单调性假设xn>xn-1,由xn>0,有根据数学归纳法知{xn}单调增.又单调增有上界收敛设在两边取极限,有解得所以例设a>0,x1>0,定义计算解因为即对一切nN,

又所以单调减,据收敛准则知收敛,

设取极限有(负根舍去)所以利用单调有界准则及夹逼定理可以证明重要极限先利用单调有界准则证明数列情形的重要极限:解设

,则比较xn

与xn+1

的对应项可知:即是单调增数列.利用上式可得所以是单调增有上界数列,根据收敛准则知收敛,记其极限值为e,于是有再利用夹逼定理证明极限:对任意的x>0,总存在正整数n

使且时，，由于

利用夹逼定理:当时，令，则有根据极限性质证得若令则利用极限的变换定理可得重要极限的另一表达形式：例计算解原极限80

无穷小的阶当时,然而这些无穷小的比值的极限是不同的究其原因：无穷小趋于零的速度是其变化的关键因素定义设都是同一趋限过程中的无穷小,且可见：

由sinx

关于x

是一阶的;由tanx

关于x

是一阶的;由arcsinx

关于x

是一阶的作为基本无穷小,则当时,称关于基本无穷小