高等数学 函数

一、集合二、映射三、函数§1.1映射与函数上页下页铃结束返回首页主讲唐辉成1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.

集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.

集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.

a是集合M的元素记为aM,读作：a属于M.

a不是集合M的元素记为aM,读作：a不属于M.一、集合下页集合的表示列举法

把集合的全体元素一一列举出来.

例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为

M{x

|x具有性质P}.

例如M{(x,y)|x,y为实数,x2y21}.下页几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.

所有实数构成的集合记为R,称为实数集.

所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.

所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.

显然,NZ,ZQ,QR.下页2.集合的运算

设A、B是两个集合,则

AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并).

AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交).A-B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差).

CIA{x|xA}为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:

如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.下页集合运算的法则

设A、B、C为任意三个集合,则有

(1)交换律

ABBA,

ABBA;(2)结合律

(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律

(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);

下页

直积(笛卡儿乘积)

设A、B是任意两个集合,则有序对集合

AB{(x,y)|xA且yB}称为集合A与集合B的直积.

例如,RR{(x,y)|

xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.

下页数集{x|a<x<b}称为开区间,记为(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.

[a,b]={x|axb}——闭区间.

[a,b)={x|ax<b}——半开区间,(a,b]={x|a<xb}——半开区间.有限区间上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间的端点,b-a称为区间的长度.下页3.区间和邻域

(-,b]={x|xb},

(-,+)={x||x|<+}.

[a,+)={x|ax},无限区间

(-,b)={x|x<b},

(a,+)={x|a<x},下页3.区间和邻域邻域以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).

设>0,则称

U(a,)=(a-,a+)={x||x-a|<}为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,

称为邻域的半径.去心邻域U(a,)={x|0<|x-a|<}.。首页二、映射1.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:XY.定义

y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即yf(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf

,或f(X),即

Rf

f(X){f(x)|xX}.元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df

,即DfX.下页二、映射1.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:XY.定义

(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域DfX;集合Y,即值域的范围:Rf

Y;对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的yf(x)与之对应.需要注意的问题下页二、映射1.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:XY.定义需要注意的问题

(2)对每个xX,元素x的像y是唯一的;而对每个yRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即Rf

Y,不一定RfY.下页说明:Rf

是R的一个真子集.

对于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.

例1

设f:RR,对每个xR,f(x)x2.

f是一个映射,f的定义域Df

R,值域Rf

{y|y0}.

例2设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.

f是一个映射,f的定义域DfX,值域Rf

Y.说明:在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上.下页

例1

设f:RR,对每个xR,f(x)x2.

f是一个映射,f的定义域Df

R,值域Rf

{y|y0}.

例2设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.

f是一个映射,f的定义域DfX,值域Rf

Y.例3

f(x)sin

x.下页满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).

讨论:

下述三个映射各是什么映射？

(1)f:RR,对每个xR,f(x)x2.

(2)设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.下页满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).讨论:

下述三个映射各是什么映射？下页2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f(x)y,于是,我们可定义一个从Rf

到X的新映射g,即

g:R

f

X,对每个yRf,规定g(y)x,这x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射,记作f

1,其定义域为Rf,值域为X.逆映射讨论:

下述三个映射是否存在逆映射？

(1)f:RR,对每个xR,f(x)x2.

(2)设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.下页2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f(x)y,于是,我们可定义一个从Rf

到X的新映射g,即

g:Rf

X,对每个yRf,规定g(y)x,这x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射,记作f

1,其定义域为Rf,值域为X.逆映射讨论:

下述三个映射是否存在逆映射？下页说明:

映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgDf.否则,不能构成复合映射.说明:

映射的复合是有顺序的,fo

g有意义并不表示go

f也有意义.即使它们都有意义,fo

g与go

f也未必相同.2.逆映射与复合映射设有两个映射g:XY1,f:Y2Z,其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g(x)]Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f

o

g,即

fo

g:XZ,(fo

g)(x)f[g(x)],xX.复合映射下页

例4

设有映射g:R[1,1],对每个xR,g(x)sin

x,则映射g和f构成复映射fo

g:R[0,1],对每个xR,有首页因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域三、函数自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.

如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.P13函数的两要素函数的定义域通常按以下两种情形来确定:

对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.函数的定义域对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域.下页单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.

如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支下页表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).

用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的点集

{P(x,y)|yf(x),xD}称为函数yf(x),xD的图形.函数的表示法此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

=[0,+).

例6

例5

函数y=2.

这是一个常值函数,其定义域为D=(-,

+),其值域为Rf

={2}.下页函数举例

此函数称为符号函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

={-1,0,1}.

例8

函数y=[x].

例7

下页注:

设x为任上实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].此函数称为取整函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

=Z.

例9

此函数的定义域为D=[0,1](1,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.下页设函数f(x)的定义域为D,数集XD.

如果存在数K1,使对任意xD,有f(x)K1,则称函数f(x)在D上有上界.(1)函数的有界性如果存在数K2,使对任意xD,有f(x)K2,则称函数f(x)在D上有下界.如果存在正数M,使对任意xD,有|f(x)|M,则称函数f(x)在D上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在D上无界.下页2.函数的几种特性

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函数无上界.下页函数的有界性举例2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x设函数f(x)的定义域D关于原点对称,

如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.

如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.奇偶函数举例

y=x2,

y=cos

x都是偶函数.

y=x3,

y=sinx都是奇函数.下页(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数T,使得对于任一xD有(xT)D,且f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T称为f(x)的周期.周期函数的图形特点下页反函数

⑴定义：设y=f（x）为定义在X上的函数，其值域为Y，若对于Y中的每个数y，在数集X中都有唯一的一个数x，使f（y）=x，则x是y的函数，此时称其为函数y=f（x）的反函数，记为其定义域为Y，值域为X。x=f-1（y）3.反函数与复合函数其反函数(减).

(减)，1)y＝f(x)单调递增且也单调递增

（2）性质:

2)函数直线对称.、的图形关于习惯上,的反函数记成反函数的图象

下页一般地，若y是u的函数y=f(u)，其定义域为D(f)，同时u又是x的函数u=g(x),它的值域为R（g),则当D(f)和R(g)的交集非空时，可以确定一个函数y=f(u)=f[g(x)],这个函数称为由y=f(u)和u=g(x)复合而成的复合函数。复合函数下页例如：设函数y=cosu,u=x²,则由这两个函数复合而成的函数为y=cosx²，它的定义域为（－∞