山西省长治市东寺头中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省长治市东寺头中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先化简得到椭圆的标准方程，再列出关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围.【详解】由题得，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

2.若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．3.已知函数定义在[1,+∞)上的函数，则下列说法中正确的个数有（

）①关于x的方程有2n+4个不同的零点②对于实数,不等式恒成立③在[1,6)上，方程有5个零点④当时，函数f(x)的图像与x轴围成的面积为4A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B4.已知：函数f（x）=cos（2x+φ），（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后与函数y=sinxcosx+cos2x的图象重合，则|φ|可以为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式可得φ+π=2kπ﹣，k∈Z，从而得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos（2x+φ），（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位，可得y=cos[2（x﹣）+φ]=﹣cos（2x+φ）=cos（2x+φ+π）的图象，由于所得图象与函数y=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象重合，∴φ+π=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ﹣，故令k=1，可得φ=，故选：D．5.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D

略6.过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.参考答案：C【分析】由题意可知，渐近线方程为y＝±x，则F1A的方程为y﹣0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标，由若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，即可求得离心率．【详解】由题意可知，渐近线方程为y＝±x，则F1A的方程为y﹣0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标为（，），因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，所以（）2+（）2＝c2，所以b2＝3a2，所以c2＝a2+b2＝4a2，所以e＝2故选：C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出B的坐标是解题的关键．7.执行如图的程序框图，则输出x的值是（

）A.2018 B.2019 C. D.2参考答案：D【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【详解】解：模拟执行程序框图，可得.满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：满足条件，执行循环体，当,不满足条件，退出循环，输出x的值为2．故选：D．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．8.已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A． B． C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．9.已知D、E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)i－y＝1，则(1＋i)x－y的值为()A．4

B．－4

C．－2i

D．－2＋2i参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设若时，不等式恒成立；则的取值范围是______________．参考答案：略12.（不等式选讲选做题）如果存在实数使不等式成立，则实数

的取值范围是_________．参考答案：略13.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是

参考答案：14.四棱锥的顶点在底面中的投影恰好是，其三视图如图所示，则四棱锥的表面积为______．参考答案：15.已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出基本事件的所有情况，利用概率公式可得结论．【解答】解：直线Ax+By+1=0的斜率为﹣，所有情况有﹣1=11种（A=1，B=﹣1与A=﹣1，B=1斜率相等），即﹣3，3，，﹣，1，，，﹣，，2，﹣2，满足直线Ax+By+1=0的斜率小于0的情况有4种，∴所求概率为，故答案为．16.已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD,CB=CD=1.①若=3，则=

;3

=+，则的最小值为

.参考答案：；17.给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是；②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则x1﹣x2=kπ，其中k∈Z．以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）参考答案：①②考点：正弦函数的对称性；三角函数的化简求值；正切函数的奇偶性与对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：把x=代入函数得

y=1，为最大值，故①正确．由正切函数的图象特征可得（，0）是函数y=tanx的图象的对称中心，故②正确．通过举反例可得③是不正确的．若，则有2x1﹣=2kπ+2x2﹣，或2x1﹣=2kπ+π﹣（2x2﹣），k∈z，即x1﹣x2=kπ，或x1+x2=kπ+，故④不正确．解答：解：把x=代入函数得

y=1，为最大值，故①正确．结合函数y=tanx的图象可得点（，0）是函数y=tanx的图象的一个对称中心，故②正确．③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如390°＞60°，都是第一象限角，但sin390°＜sin60°．若，则有

2x1﹣=2kπ+2x2﹣，或2x1﹣=2kπ+π﹣（2x2﹣），k∈z，∴x1﹣x2=kπ，或x1+x2=kπ+，k∈z，故④不正确．故答案为①②．点评：本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(1)若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围(2）若是的极值点，求在［1，］上的最大值(3）在（2）的条件下，是否存在实数b,使得函数的图象与的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.参考答案：（1）

在是增函数，

在上恒有，即

在［1，+）上恒成立，

则必有且

(2）依题意，即令，得.则当经变化时，与变化情况如下表1(1,3)3(3,4)4

-0+

-6

-18

-12

在［1，4］上的最大值是.C．函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即方程恰有3个不等实根.

有两个非零不等实根.

是其中一个根，且.存在满足条件的b的值，b的取值范围是且.19.（本小题满分11分）已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的范围．参考答案：所以(12分)20.已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，从而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的单调递增区间为：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是锐角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…21.（本题满分13分）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱上的动点．（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，ABC=60o，求四棱锥P-ABCD的体积．参考答案：22.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足，．（1）若，且，求正整数m的值；（2）若数列{an}，{bn}均是等差数列，求的取值范围；（3）若数列{an}是等比数列，公比为q，且，是否存在正整数k，使，，成等差数列，若存在，求出一个k的值，若不存在，请说明理由．参考答案：（1）2；（2）[0,+∞)；（3）存在，k=1.【分析】（1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）设出数列，的首项和公差，代入原式化简得一个含n的恒等式，所以对应系数相