山西省运城市杜马中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山西省运城市杜马中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）．A． B． C． D．参考答案：B时，，时，，时，，时，，时，，此时，所以输出．故选．2.函数的最大值与最小值之和为A. B.－1 C.0 D.参考答案：D【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析【详解】函数,由,得,所以,所以y最大值为2,最小值为,所以y的最大值与最小值之和为．故选：D．【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.3.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．4.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数．

则其中真命题是(

)A．①②③

B．①②④

C．

①③④

D．①②参考答案：A5.已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.参考答案：c略6.是虚数单位，复数的实部为A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若高于80分的人数是15，则该班的学生人数是（）A.40 B.45 C.50 D.60参考答案：C【分析】根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为0.3，再根据高于80分的人数是，即可求解学生的人数，得到答案．【详解】由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在[80,100]之间的频率为，又由高于80分的人数是15，则该班的学生人数是人，故选C．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是（

）

参考答案：B因为，所以在为增函数,又时，为增函数,所以图象越来越陡峭，时，为减函数,所以图象越来越平缓。9.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：c）为（

）（A）48+12

（B）48+24

（C）36+12

（D）36+24参考答案：A10.1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有A.450

B.460

C.480

D.500参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是

．参考答案：（2，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】易知函数f（x），g（x）都是偶函数，所以只需判断F（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点即可，也就是函数y=f（x）与y=g（x）的图象在y轴右侧有两个不同交点即可．画出它们的函数图象，问题容易解决．【解答】解：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g（x）也是偶函数，因此只需做出x＞0时f（x），g（x）的图象，然后此时产生两个不同交点即可．作出函数f（x）、g（x）的图象如下：可知，若F（x）恰有4个零点，只需，即．解得．故答案为．【点评】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题12.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则

_________.参考答案：13.的二项展开式中不含x的项为_____________.参考答案：

14.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是____________.参考答案：604由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数.在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.15.复数z满足=1+i，则复数z的模等于．参考答案：【考点】复数求模；二阶矩阵．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．16.如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：17.从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______。参考答案：从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分如图，四边形为矩形，且，，为上的动点。（1）当为的中点时，求证：；（2）设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为。试确定点E的位置。参考答案：方法一：（1）证明：当为的中点时，，从而为等腰直角三角形，

则，同理可得，∴，于是，………1分

又，且，∴，。………2分

∴，又，∴。……4分

（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）（还可以分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）（2）如图过作于，连，则，………6分

∴为二面角的平面角．

……………8分

设，则．……………9分于是………………10分，有解之得。点在线段BC上距B点的处。………12分方法二、向量方法．以为原点，所在直线为

轴，建立空间直角坐标系，如图………………1分（1）不妨设，则，从而，………2分于是，所以所以

………………4分（2）设，则，则

………………6分易知向量为平面的一个法向量．设平面的法向量为，则应有

即解之得，令则，，从而，………………10分依题意，即，解之得（舍去），………………11分所以点在线段BC上距B点的处。………………12分19.（2017?四川模拟）某市对创“市级优质学校”的甲、乙两所学校复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了30位市民，根据这30位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市民对甲、乙两所学校评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市民对甲、乙两所学校的评分不低于90分的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市民对甲、乙两所学校的评价．参考答案：【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可【解答】解：（Ⅰ）由题意得，根据所给的茎叶图知，30位市民对甲学校的评分按由低到高排列，排在第15，16两位的分数是85，85，故样本中位数是85，故该市的市民对甲学校评分的中位数的估计值是85，30位市民对乙学校的评分由低到高排列，排在第15，16两位的分数是75，77，故样本中位数是=76，故该市的市民对乙学校评分的中位数的估计值是76；（Ⅱ）由所给茎叶图知，30位市民对甲、乙两学校的评分不低于90分的比率分别是：=?=；（Ⅲ）由所给茎叶图知，该市的市民对甲学校的评分的中位数高于对乙学校的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出市民对甲学校的评分标准差要小于对乙学校的评分的标准差，说明该市的市民对甲学校的评价较高，评价较为一致，对乙学校的评分的评价较低，评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知为原点，求证：为定值.参考答案：解：（1）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为

（2）设，，，因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：

直线的方程为：，即，令，得

同理可得：

又，所以

所以，即为定值

略21.某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共层，总开发费用为万元，求函数的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？参考答案：（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：（元）（万元），从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：（元）（万元），每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2为公差的等差数列，2分所以函数表达式为：

；（6分）（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：

（10分）（元）