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山西省运城市学院附属中学高一数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设函数f(x)=2x+1的定义域为[1,5],则函数f(2x﹣3)的定义域为()A.[1,5] B.[3,11] C.[3,7] D.[2,4]参考答案:D【考点】函数的定义域及其求法.【专题】计算题.【分析】由题意知1≤2x﹣3≤5,求出x的范围并用区间表示,是所求函数的定义域.【解答】解:∵函数f(x)的定义域为[1,5],∴1≤2x﹣3≤5,解得2≤x≤4,∴所求函数f(2x﹣3)的定义域是[2,4].故选D.【点评】本题的考点是抽象函数的定义域的求法,由两种类型:①已知f(x)定义域为D,则f(g(x))的定义域是使g(x)∈D有意义的x的集合,②已知f(g(x))的定义域为D,则g(x)在D上的值域,即为f(x)定义域.2.已知向量=(0,2),=(1,),则向量在上的投影为(
)A.3B.C.﹣D.﹣3参考答案:A考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:由两向量的坐标求出两向量夹角的余弦值,代入投影公式得答案.解答: 解:由,)得cos<,=∴向量在上的投影为.故选:A.点评:本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量在向量方向上的投影的概念,是基础题. 3.定义域为R的函数f(x)=(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x2+x4+x5)等于()A.0 B.21g2 C.31g2 D.1参考答案:C【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】分情况讨论,当x=2时,f(x)=1,则由f2(x)+bf(x)+c=0得1+b+c=0,求出x1=1;当x>2时,f(x)=lg(x﹣2),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(x﹣2)]2+blg(x﹣2)﹣b﹣1=0,解得lg(x﹣2)=1,或lg(x﹣2)=b,从而求出x2和x3;当x<2时,f(x)=lg(2﹣x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(2﹣x)]2+blg(2﹣x)﹣b﹣1=0),解得lg(2﹣x)=1,或lg(2﹣x)=b,从而求出x4和x5,5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5都求出来后,就能求出f(x1+x2+x3+x4+x5)的值.【解答】解:当x=2时,f(x)=1,则由f2(x)+bf(x)+c=0得1+b+c=0.∴x1=2,c=﹣b﹣1.当x>2时,f(x)=lg(x﹣2),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(x﹣2)]2+blg(x﹣2)﹣b﹣1=0,解得lg(x﹣2)=1,x2=12或lg(x﹣2)=b,x3=2+10b.当x<2时,f(x)=lg(2﹣x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(2﹣x)]2+blg(2﹣x)﹣b﹣1=0),解得lg(2﹣x)=1,x4=﹣8或lg(2﹣x)=b,x5=2﹣10b.∴f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(2+12+2+10b﹣8+2﹣10b)=f(10)=lg|10﹣2|=lg8=3lg2.故选C.4.对于任意角α和β,若满足α+β=,则称α和β“广义互余”.已知sin(π+θ)=﹣,①sinγ=;②cos(π+γ)=;③tanγ=﹣2;④tanγ=上述角γ中,可能与角θ“广义互余”的是()A.①② B.②③ C.①③ D.②④参考答案:C【考点】三角函数的化简求值.【专题】计算题;新定义;分类讨论;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.【分析】①由已知可得sin2γ+sin2(π+θ)=1,得:+γ+θ+2kπ=0,或γ+θ+2kπ=(k∈Z),即可判断θ和γ可能是广义互余;②由于sinθ=sin(γ﹣),解得γ﹣θ=2kπ﹣,或γ+θ=2kπ+,即可得解θ和γ不可能是广义互余;③解得±sinθ=sin(﹣γ),当sinθ=sin(﹣γ)时,可得θ=﹣γ+2kπ,(k∈Z),可得a和β有可能是广义互余;④解得cos2γ+sin2θ=1,可得γ﹣θ=2kπ,可得γ和θ不可能是广义互余.【解答】解:∵sin(π+θ)=﹣,可得:sinθ=,∴①sin2γ+sin2(π+θ)=1,可得:+γ+θ+2kπ=0,或γ+θ+2kπ=(k∈Z),故θ和γ可能是广义互余;②cos(π+γ)=﹣cosγ=﹣sin(π+θ)=sinθ=sin(γ﹣),∴θ=γ﹣+2kπ,或θ=π﹣(γ﹣)+2kπ,(k∈Z),∴γ﹣θ=2kπ﹣,或γ+θ=2kπ+,(k∈Z),α+β不可能等于90°,θ和γ不可能是广义互余;③当tanγ=﹣2时,可得cosγ=±=±sinθ=sin(﹣γ),当sinθ=sin(﹣γ)时,可得θ=﹣γ+2kπ,(k∈Z),可得a和β有可能是广义互余;④当tanγ=时,cosγ=±,此时cos2γ+sin2θ=1,γ﹣θ=2kπ,(k∈Z),∴γ和θ不可能是广义互余.故选:C.【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式的运用,考查了三角函数的图象和性质,考查了学生分析和解决问题的能力,属于中档题.5.若等腰直角三角形的直角边长为3,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是(
)A.9
B.
12
C.6
D.3
参考答案:A略6.tan70°+tan50°﹣的值等于()A. B. C. D.参考答案:D【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由50°+70°=120°,利用两角和的正切函数公式表示出tan(70°+50°),且其值等于tan120°,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得到tan120°的值,化简后即可得到所求式子的值.【解答】解:由tan120°=tan(70°+50°)==﹣tan60°=﹣,得到tan70°+tan50°=﹣+tan70°tan50°,则tan70°+tan50°﹣tan70°tan50°=﹣.故选D7.符合下列条件的三角形有且只有一个的是(
)
www.k@s@5@
高A.a=1,b=2,c=3
B.a=1,b=
,∠A=30°C.a=1,b=2,∠A=100°
D.b=c=1,∠B=45°参考答案:D略8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,设直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是.若,,则(
)A.2 B.
C.
D.参考答案:D由题意得:直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,∴(cosθ﹣sinθ)2,∴2sinθcosθ,∴(sinθ+cosθ)2,∴sinθ+cosθ,cosθ﹣sinθ,∴?sin(2θ)cos(2θ)=2sin(2θ)=2cos2θ=2(sinθ+cosθ)(cosθ﹣sinθ)=2.故选:D.
9.集合的真子集共有
(
)
A.5个
B.6个
C.7个 D.8个参考答案:C10.已知函数,若方程有四个不同的解,则的取值范围是( )A.(-1,1] B.[-1,1] C.[-1,1) D.(-1,1)参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简的结果为
▲
。参考答案:略12.函数的定义域为__________.参考答案:要使函数有意义,则必须,解得:,故函数的定义域为:.13.给出下列命题:
(1)存在实数,使;
(2)函数是偶函数;
(3)是函数的一条对称轴;(4)若是第一象限的角,且,则;
(5)将函数的图像先向左平移,然后将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得到的图像对应的解析式为.其中真命题的序号是
.参考答案:(2)(3)(5)略14.已知为正实数,设,则的最小值为__________.参考答案:15.若函数为R上的偶函数,则k=
参考答案:函数,,函数为上的偶函数,,即,故,化简得,则解得故答案为
16.如右图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆,它落在扇形外正方形内的概率为
.(用分数表示)参考答案:略17.已知,则______.参考答案:【分析】直接利用诱导公式化简求解即可.【详解】因为,则.【点睛】本题主要考查应用诱导公式对三角函数式化简求值。三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题13分)设两向量满足,、的夹角为,(1)试求
(2)若向量与向量的夹角为锐角,求实数的取值范围.参考答案:解析:(1)由题意知.......................................3分
=.................6分
(2)..............................9分因为它们的夹角为锐角所以,即........................................12分故t的取值范围是...............................................13分
19.已知函数对任意实数x、y都有=·,且,,当时,0≤<1.(1)判断的奇偶性;(2)判断在[0,+∞上的单调性,并给出证明;(3)若且≤,求的取值范围.参考答案:解:⑴令y=-1,则=·,∵=1,∴=
,且
所以为偶函数.……………4分⑵若x≥0,则==·=[]≥0.……………5分若存在,则,矛盾,所以当时,……………6分设0≤x<x,则0≤<1,∴==·,……………8分∵当x≥0时≥0,且当0≤x<1时,0≤<1.∴0≤<1,∴<,故函数在[0,+∞上是增函数.……9分⑶∵=9,又=·=··=[],∴9=[],∴=,……………10分∵≤,∴≤,……………11分∵a≥0,(a+1),3[0,+∞,函数在[0,+∞上是增函数.∴a+1≤3,即a≤2,
……………12分又a≥0,故0≤a≤2.……………13分
20.(15分)已知函数f(x)=6x2+x﹣1.(Ⅰ)求f(x)的零点;(Ⅱ)若α为锐角,且sinα是f(x)的零点.(ⅰ)求的值;(ⅱ)求sin(α+)的值.参考答案:【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】(Ⅰ)令f(x)=6x2+x﹣1=0,即可解得x的值.(Ⅱ)(ⅰ)由α为锐角,可求sinα的值,利用诱导公式即可计算得解.(ⅱ)由α为锐角,利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值,进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解.【解答】(本小题满分15分)解:(Ⅰ)令f(x)=6x2+x﹣1=0得零点或.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)由α为锐角,所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(ⅰ)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)(ⅱ)由α为锐角,所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)可得:=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(15分)【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.21.在四边形中,.(1)若∥,试求与满足的关系;(2)若满足(1)同时又有,求、的值.参考答案:(1)∥即
(1)(2)
(2)由(1)(2)得或
略22.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,(1)求函数的解析式;(2)试求函数在[,]的最大值和最小值参考答案:(1)(2)当时,有最小值0;当时,有最大值6.试题分析:(1)根据函数奇偶性求解析式,实际方法为转移法,即将所求区间转化
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