山西省运城市博爱中学2021年高二数学理期末试卷含解析

山西省运城市博爱中学2021年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（

）

A

B

C

D

参考答案：D略2.用反证法证明命题“设a，b，c为实数，满足，则a，b，c至少有一个数不小于1”时，要做的假设是（）A.a，b，c都小于2 B.a，b，c都小于1C.a，b，c至少有一个小于2 D.a，b，c至少有一个小于1参考答案：B【分析】假设就是求结论的否定.【详解】a，b，c至少有一个数不小于1的对立面就是a，b，c三个都小于1．故选：B．【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为A．

B．

C．

D．参考答案：B以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），设异面直线BE与CD1所形成角为θ，则cosθ=．异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．

4.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（） A．2 B．6 C．4 D．2参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4， 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆． 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切线的长|AB|===6． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题． 6.下列说法正确的是（

）A、类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理

B、合情推理得到的结论一定是正确的

C、合情推理得到的结论不一定正确

D、归纳推理得到的结论一定是正确的参考答案：C【考点】合情推理的含义与作用【解析】【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．

7.已知函数，，且，，，则的值为A.正

B.负

C.零

D.可正可负参考答案：B∵，∴函数在R上是减函数且是奇函数，∵，∴，∴，∴，∴，同理：，，∴.8.设等比数列{an}前n项和为Sn，且，则=(

)A.4

B.5

C.8

D.9参考答案：B9.抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣4参考答案：A【考点】抛物线的应用．【分析】根据抛物线方程可求得p，再根据抛物线性质求得准线方程．【解答】解：根据抛物线方程可知2p=8，p=4，故准线方程为x=﹣2，故选A10.设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）A．a2+b2 B．2ab C．a D．参考答案：A【考点】不等式比较大小．【分析】根据不等式的性质和作差法即可比较大小【解答】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一个数为a2+b2故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝___▲_____.参考答案：962 略12.不等式│x-4│-│x+1│<3的解集为________参考答案：{x│x>0}略13.求顶点在原点，通过点且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程及相应的焦点坐标和准线方程。参考答案：解：（略）想见课本75页例5。或14.观察下列不等式：，由此猜想第个不等式为

▲

．参考答案：15.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为

．参考答案：∵椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点∴，即.

16.设幂函数的图象过点，则=

▲

参考答案：17.函数的定义域为，则的值为

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列{an}中，a1=，且=nan（n∈N+）．

(1)写出此数列的前4项；

(2)归纳猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

参考答案：（1）解：a1=，a2=，a3=，a4=

（2）解：猜想：an=．

证明：①当n=1时，猜想显然成立．

②假设n=k时猜想成立，即ak=．

∵=nan

，∴=（2n﹣1）an．

∴，

∴a1+a2+…+ak=（2k2+3k）ak+1

，

又a1+a2+…+ak=（2k2﹣k）ak=，

∴ak+1==，

∴当n=k+1时，猜想成立．

由①②可知，对一切n∈N+

，都有an=

【考点】归纳推理，数学归纳法，数学归纳法

【分析】（1）根据递推式，依次令n=2，3，4计算a2

，a3

，a4；（2）根据前4相猜想通项公式，验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，根据条件推导ak+1得出结论．

19.在三棱锥中，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，当三棱锥的体积最大

时，求的长．参考答案：（Ⅰ）证明：∵∴，

（1分）∵，

∴

（2分）∵，∴

（3分）∵，∴，∴，

（5分）∵，∴平面平面；

（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，，

（7分）设，则

（8分）

（9分）∴

（10分）当且仅当即时取等号；

（11分）∴当三棱锥的体积最大时，的长为．

（12分）

略20.已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)证明:曲线与曲线有唯一公共点；(3)设，比较与的大小,并说明理由.参考答案：.解：(1)，则，点处的切线方程为：,(2)令，，则，且，，因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以在上单调递增，又，即函数有唯一零点，所以曲线与曲线有唯一公共点.(3)设令且，则，所以在上单调增，且，因此，在上单调递增，而，所以在上即当时，且，所以，所以当时，

略21.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．

（1）求直线的方程；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．参考答案：解：（Ⅰ）由

解得由于点P的坐标是（，2）.则所求直线与垂直，可设直线的方程为.把点P的坐标代入得，即.所求直线的方程为.（Ⅱ）由直线的方程知它在轴、轴上的截距分别是、，所以直线与两坐标轴围成三角形的面积略22.已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.参考答案：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4.

4分（Ⅱ）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由