山西省运城市中学东校2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

山西省运城市中学东校2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（

）A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B略2.已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：B【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．故选：B．3.已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．4.已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1} D．{1，2，3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≤0且x≠0，解得：0＜x≤2，即A=（0，2]，∵B={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则(

)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：A【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，∴f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，∵2﹣3=∈（0，1），3m=1，|log0.53|=log23＞1，∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c故选：A【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．6.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．7.如图，是函数图像上一点，曲线在点处的切线交轴于点，轴，垂足为若的面积为，则与满足关系式（）

A.

B.C.D.参考答案：B8.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则等于(

)

A．2

B．2

C.

D.参考答案：D9.若函数为偶函数，时，单调递增，，则的大小为（

）A、 B、 C、 D、参考答案：B10.已知，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1﹣x，则①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．其中所有正确命题的序号是．参考答案：①②④【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，以及在（0，1）上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3，4]时的解析式即可判定④的真假【解答】解：∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确；∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=，故③不正确；设x∈[3，4]，则4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）=（）x﹣3=f（﹣x）=f（x），故④正确故答案为：①②④12.如图：抛物线的焦点为F,原点为O，直线AB经过点F，抛物线的准线与x轴交于点C，若，则=________．参考答案：13.正方体的内切球与外接球的半径之比为

参考答案：试题分析：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比．解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：：3，故填写考点：点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，是解决本题的关键14.已知函数

则________;若，则实数的取值范围是_______________.参考答案：-5;，所以。由图象可知函数在定义域上单调递减，所以由得，，即，解得，即实数的取值范围是。15.如图，在ABC中，点E在AB边上，点F在AC边上，且，BF与CE交于点M，设，则的值为

。参考答案：16.如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中=λ+μ，则下列命题正确的是

．（填上所有正确命题的序号）①λ≥0，μ≥0；②当点P为AD中点时，λ+μ=1；③若λ+μ=2，则点P有且只有一个；④λ+μ的最大值为3；⑤?的最大值为1．参考答案：①②④⑤【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到=λ+μ=（λ﹣μ，μ），然后根据相对应的条件加以判断即可．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），（﹣1，1），∵=λ+μ，∴λ≥0，μ≥0；故①正确∴=λ+μ=（λ﹣μ，μ），当点P为AD中点时，∴=（0，），∴λ﹣μ=0，，故λ+μ=1；故②正确，当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，当λ=，μ=时，=（1，），此时P是BC的中点，满足λ+μ=2，故③错误当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，综上，0≤λ+μ≤3，故④正确；?=（λ﹣μ，μ）?（﹣1，1）=﹣λ+2μ，有推理④的过程可知﹣λ+2μ的最大值为1，综上，正确的命题是①②④⑤．故答案：①②④⑤【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，是易错题．17.已知双曲线的右焦点为F，O是坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A、B两点，使得，则双曲线的离心率e的取值范围是___________．参考答案：

【分析】根据直线与双曲线的位置关系设出直线方程，联系直线与双曲线整理出关于的方程，再利用数量积求解即可。【详解】设，，直线的方程，由整理得，由直线交双曲线C的右支于两点，可得，且，两式解得。因为整理可得，因为，所以即整理可得，由

得，解得，所以双曲线的离心率的取值范围是【点睛】本题考查直线、双曲线的位置关系，由双曲线的性质求离心率，难度较大。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，且的解集为.[KS5UKS5U]（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，，且，求证：.参考答案：（Ⅰ）的解集为可知.（Ⅱ）则当且仅当时等号成立，即，，时等号成立.19.（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG?平面PAD，CE?平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由?=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．

…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以?=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．

…（14分）【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．20.如图，AB是圆O的直径，C，F为圆O上的点，CA是∠BAF的角平分线，CD与圆O切于点C，且交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DF=BM；（2）若圆O的半径为1，∠BAC=60°，试求线段CD的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】转化思想；转化法；推理和证明．【分析】（1）根据三角形全等以及切割线定理进行证明即可证明DF=BM；（2）根据三角形中的边角关系进行求解即可．【解答】解：（1）连接OC，CB，则有∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC，∴∠FAC=∠ACO，则OC∥AD，∵DC是圆O的切线，∴CD⊥OC，则CD⊥AD，由题意得△AMC≌△ADC，∴DC=CM，DA=AM，由切割线定理得DC2=DF?DA=DF?AM=CM2，①，在Rt△ABC中，由射影定理得CM2=AM?BM，②，由①②得DF?AM=AM?MB，即DF=MB．（2）在Rt△ABC中，AC=ABcos∠BAC=2cos30°=2×=，则CM=AC=，于是CD=CM=，即CD的长为．【点评】本题主要考查几何的推理和证明，根据切割线定理以及三角形全等关系是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．21.(本题满分12分)如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,.（1）求证:平面ADC平面BCDE.（2）试问线段DE上是否存