山西省运城市中学东校2022年高三数学理月考试卷含解析

山西省运城市中学东校2022年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C． D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{an}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项及求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．2.已知F1和F2分别是椭圆C：+y2=1的左焦点和右焦点，点P（x0，y0）是椭圆C上一点，切满足∠F1PF2≥60°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[1，] D．[，]参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设当点P在第一象限时，求出∠F1PF2=60°时，PF2的大小，由焦半径公式的PF2=a﹣ex0解得x0，根据对称性，则x0的取值范围【解答】解：∵a=，b=1，∴c=1．设当点P在第一象限时，|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由椭圆的定义可得：t1+t2=2…①在△F1PF2中，当∠F1PF2=60°，所以t12+t22﹣2t1t2?cos60°=4…②，由①﹣②得t2=，由焦半径公式的a﹣ex0=，解得x0=，当点P向y轴靠近时，∠F1PF2增大，根据对称性，则x0的取值范围是：[﹣，]故选：B【点评】本题考查了椭圆的性质及焦点三角形的特征，属于中档题．3.

对a、b∈R，记函数的最小值是（

）A．0

B．

C．

D．3参考答案：C4.设，，，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小。【详解】，且，故选A。【点睛】本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用。5.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250参考答案：A考点：分层抽样方法．

专题：概率与统计．分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．解答：解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．6.函数的定义域为(

)A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1]参考答案：C【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．7.已知长方体中，，为的中点，则点到平面的距离为A．1

B．

C．

D．2参考答案：A略8.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．126参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，是基础题．9.设dx.当a≥0时，则f(a)的最小值为()．(A) (B)(C) (D)无最小值参考答案：B略10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，即可求出体积【解答】解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，所以，其体积为：2×（1×1）×=，故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=．参考答案：【考点】：类比推理；棱锥的结构特征．【专题】：压轴题；规律型．【分析】：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．但由于类比推理的结果不一定正确，故我们还需要进一步的证明．解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=S1×r+S2×r+S3×r+S4×r=S×r∴内切球半径r=故答案为：．【点评】：本题考查的知识点是类比推理、棱锥的结构特征，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．12.如图所示是某市2017年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天．该同志到达当日空气质量重度污染的概率

．参考答案：

13.已知的概率为＿＿＿＿＿参考答案：略14.已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（﹣m）⊥，则实数m=

．参考答案：3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意可得=3×2×cos60°=3，（）?=﹣m=9﹣m×3=0，解方程求得实数m的值．【解答】解：由题意可得=3×2×cos60°=3，（）?=﹣m=9﹣m×3=0，∴m=3，故答案为：3．15.已知实数x，y满足，则的取值范围为

.参考答案：画出不等式组表示的平面区域如图所示，表示可行域内的点与点连线的斜率。由图形知，。结合图形可得或，故的取值范围为。

16.若的值是

。参考答案：略17.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（0，1），过抛物线上的异于顶点的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与y轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N。（1）求抛物线的标准方程；（2）判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。（3）若直线MN与y轴的交点恰为R（0，2），求证：直线AB过定点。

参考答案：略19.（本小题满分12分）已知数列中，（常数），是其前项和，且.（1）试确定数列是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（2）令.参考答案：【知识点】数列的应用；数列的求和；数列与不等式的综合．D4D5（1）是，；（2）见解析.解析：（1）令可得，即，所以，…1分，可得，当成立，

………3分当时，两边相乘可得，所以，

………5分显然当时，满足上式，所以数列是等差数列，其通项公式为.

………6分（2）由（1）可知，从而可得，

………7分，

………9分因为均大于0，所以，………10分而是关于的增函数，所以，所以，故.

………12分【思路点拨】（1）递推式中令n=1，即得a=0；由递推式，再写一式，两式相减，可得，再用叠乘法，可得数列{an}是等差数列，从而可求通项公式；（2）确定得，利用裂项法，即可证得结论．20.（本小题满分12分）如图，ABCD为梯形，平面ABCD，AB//CD，，E为BC中点，连结AE，交BD于O.（I）平面平面PAE（II）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）参考答案：(Ⅰ)

连结,所以为中点,所以,因为,所以与为全等三角形所以所以与为全等三角形所以在中,,即………………3分又因为平面,平面所以……………4分而所以平面………5分因为平面所以平面平面……6分(Ⅱ)以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图二面角即二面角平面,平面的法向量可设为……………7分设平面的法向量为所以,而即:,可求得………………10分所以两平面与平面所成的角的余弦值为………………12分21.已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由，得.经检验，当时取到极小值，故.（Ⅱ）由，即对任意恒成立.（1）当时，有；（2）当时，得令，得；若，则；若，则.得在上递增，在上递减。故的最大值为所以综合（1）（2）得22.如图，等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，点E，F分别在AB，BC上，AE=CF=，O为AC边上的中点，EF交BO于点H，将△BEF沿EF折到△B′EF的位置，OB′=．（1）证明：B′H⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣B′A﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明EF⊥B′H，B′H⊥OH，即可得到B′H⊥平面ABC．（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法求解．【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且AB=BC，又，∴，则EF∥AC．又由AB=BC，得AC⊥BO，则EF⊥BO，∴EF⊥BH，故H为EF中点，则EF⊥B′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴，则BH=B′H=3，∴|OB'|