山西省朔州市飞翔学校2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省朔州市飞翔学校2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间的人做试卷，编号落入区间的人做试卷,其余的人做试卷，则做试卷的人数为A.10 B.12C.18 D.28参考答案：B【知识点】抽样方法.

I1

解析：设抽到的学生的编号构成数列，则，由得，，19到40有12个整数，故选B.【思路点拨】根据系统抽样的定义求解.2.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，可得，即：，解得=．故选：C．3.在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．16参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，6），此时z的最大值为z=2+2×6=14．故选：C．【点评】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求．4.已知集合,,则A.

B.

C.

D.参考答案：C，所以,选C.5.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积(cm3)是（

）A.158 B.162C.182 D.324参考答案：B【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

6.已知球的直径,是球球面上的三点，是正三角形，且,则三棱锥的体积为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知，是相异两平面，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：D8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2．∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π．圆锥的侧面积为=4．∴几何体的表面积为96﹣4π+4．故选：C．9.函数（，）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：A10.已知函数f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤0的解集为（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x≤3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法．【分析】由已知中函数f（x）=是一个分段函数，故可以将不等式f（x﹣1）≤0分类讨论，分x﹣1≥1和x﹣1＜1两种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：当x﹣1≥1，即x≥2时，f（x﹣1）≤0?2x﹣2﹣2≤0，解得x≤3，∴2≤x≤3；当x﹣1＜1，即x＜2时，f（x﹣1）≤0?22﹣x﹣2≤0，解得x≥1，∴1≤x＜2．综上，不等式f（x﹣1）≤0的解集为{x|1≤x≤3}．故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，对不等式f（x+2）≤3的变形进行分类讨论，是解答本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于__________．参考答案：【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【详解】∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，∴x，r＝1，∴cosα，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1．故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．12.已知数列的前项和为，且，则=

.参考答案：413.设是单位向量，且的最大值为________．参考答案：14.如图，在中，已知，是边上一点，，，，则

．参考答案：15.等差数列的前9项和等于前4项和，若，则__________.参考答案：10略16.如图，已知正四面ABCD中，AE=AB，CF=CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】设正四面体的棱长等于1，设向量，，，将向量表示为向量的线性组合，利用正四面体的性质、向量的加减与数量积运算法则，算出cos＜＞=﹣，结合异面直线所成角的定义即可得出直线DE和BF所成的角的余弦值．【解答】解：正四面ABCD中，设向量，，，则向量两两夹角为60°，设正四面体的棱长等于1，则，∵△ABD中，AE=AB，∴，同理由CF=CD，可得，∴==，同理可得，∵==∴cos＜＞===﹣，结合异面直线DE和BF所成的角为锐角或直角，可得直线DE和BF所成的角的余弦值为﹣cos＜＞=．故答案为：17.设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，则的值为__________.参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在处取极值. （1）求函数的解析式；（2）当满足什么条件时，在区间为增函数；（3）若是函数图象上一个动点，直线与函数图象切于点，求直线的斜率的取值范围.参考答案：解：（1）由已知，即函数的解析式为（2）由（1）得，令，解得故在上是增函数又在上为增函数解得即当时，函数在为增函数（3）直线与图象切于点故斜率令，则，当时，，当时，故直线斜率的取值范围是略19.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为，

1，3，6，10

1，4，9，16

1，5，12，22

1，6，15，28（1）

求使得的最小的取值；（2）

试推导关于、的解析式；

(3)

是否存在这样的“边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.参考答案：解:(1),

3分

由题意得,

所以,最小的.

5分

(2)设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变,

所以,所以是首项为1公差为的等差数列,所以.(或等)

13分

(3)

16分

显然满足题意,

17分

而结论要对于任意的正整数都成立,则的判别式必须为零,

所以,,

19分所以,满足题意的数列为“三角形数列”.20.设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=log2（an+1），求数列{bn?an}的前n项和为Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可得（an+1+1）=2（an+1），进而可得{an+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；（2）通过，可得bn?an=n?2n﹣n，记A=1×21+2×22+…+n?2n，利用错位相减法计算A﹣2A的值，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵an+1=2an+1，∴（an+1+1）=2（an+1）∵a1+1=2≠0，∴an+1≠0，∴，∴{an+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，∴，∴；（2）∵，∴，∴，记A=1×21+2×22+…+n?2n，∴2A=1×22+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，∴﹣A=A﹣2A=2+22+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=（1﹣n）?2n+1﹣2，∴A=（n﹣1）?2n+1+2，故．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.参考答案：（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．22.(本小题满分14分)(1)已知函数为有理数且)，求函数的最小值;(2)①试用(1)的结果证明命题：设为有理数且，若时，则；②请将命题推广到一般形式，并证明你的结论；注：当为正有理数时，有求导公式参考答案：解：（Ⅰ）令得当时，，故在上递减．当