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山西省朔州市沙城实验中学2022-2023学年高一数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,,,,点P是线段BC1上一动点,则的最小值是(
)A. B. C. D.参考答案:B【分析】连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线.(在BC1上取一点与A1C构成三角形,因为三角形两边和大于第三边)由余弦定理即可求解.【详解】连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,连接A1C,长度即是所求.∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1,∴矩形BCC1B1是边长为的正方形;则BC1=2;另外A1C1=AC=6;在矩形ABB1A1中,A1B1=AB=,BB1,则A1B=;易发现62+22=40,即A1C12+BC12=A1B2,∴∠A1C1B=90°,则∠A1C1C=135°故A1C故答案为:B.【点睛】本题考查的知识是棱柱的结构特征及两点之间的距离,其中利用旋转的思想,将△CBC1沿BC1展开,将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键.2.下列命题正确的是(
)A.若·=·,则=
B.若,则·=0C.若//,//,则//
D.参考答案:B根据题意,对于选项A,由于向量不能约分,故错误,,对于B,由于向量等式两边平方可知成立。,对于C,由于,为零向量不一定成立,对于D,向量不满足于结合律,故错误,故选B.3.(5分)函数f(x)=x﹣2+lnx的零点所在的一个区间是() A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)参考答案:B考点: 函数零点的判定定理;二分法求方程的近似解.专题: 计算题;函数的性质及应用.分析: 由题意,函数f(x)=x﹣2+lnx在定义域上单调递增,再求端点函数值即可解答: 解:函数f(x)=x﹣2+lnx在定义域上单调递增,f(1)=1﹣2<0,f(2)=2+ln2﹣2>0,故函数f(x)=x﹣2+lnx的零点所在区间是(1,2);故选B.点评: 本题考查了函数的零点的判断,属于基础题.4.函数在区间是增函数,则的递增区间是
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B5.如果cos(π+A)=﹣,那么sin(+A)的值是()A.﹣ B. C.﹣ D.参考答案:B【考点】三角函数的化简求值.【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的求值.【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cosA的值,所求式子利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出.【解答】解:∵cos(π+A)=﹣cosA=﹣,即cosA=,∴sin(+A)=cosA=.故选:B.【点评】本题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键,是基础题.6.已知全集,集合,则∪为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B7.下列函数中,不满足的函数是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:C略8.在△ABC中,且,则B等于()A. B. C. D.参考答案:A【分析】在△ABC中,利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得,sin(A+C)=sinB,结合a>b,即可求得答案.【详解】在△ABC中,∵asinBcosC+csinBcosAb,∴由正弦定理得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB,sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA,∴sin(A+C),又A+B+C=π,∴sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB,又a>b,∴B.故选:A.【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用,考查了大角对大边的性质,属于中档题.9.如果集合P={x|x>﹣1},那么(
)A.0?P B.0∈P C.?∈P D.??P参考答案:B【考点】元素与集合关系的判断.【专题】阅读型.【分析】通过元素是否满足集合的公共属性,判断出元素是否属于集合.【解答】解:∵P={x|x>﹣1},∵0>﹣1∴0∈p故选B【点评】本题考查如何判断元素与集合的关系、考查“∈”表示元素与集合的关系、“?”表示集合与集合的关系.10.不等式的解集为A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[1,2]
D.(1,2]参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知且,函数必过定点
参考答案:(2,-2)12.若原命题的否命题是“若x?N,则x?Z”,则原命题的逆否命题是
.参考答案:真命题【考点】命题的真假判断与应用;四种命题.【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题,进而得到答案.【解答】解:若原命题的否命题是“若x?N,则x?Z”,则原命题的逆否命题是“若x?Z,则x?N”,是真命题故答案为:真命题13.已知,则______.参考答案:【分析】直接利用诱导公式化简求解即可.【详解】因为,则.【点睛】本题主要考查应用诱导公式对三角函数式化简求值。14.若菱形的边长为,则__________。参考答案:
解析:15.已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:①h(x)的图象关于原点对称;②h(x)为偶函数;③h(x)的最小值为0;④h(x)在(0,1)上为减函数.其中正确命题的序号为.(将你认为正确的命题的序号都填上)参考答案:②③16.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为
参考答案:17.若长度为x2+4,4x,x2+6的三条线段可以构成一个锐角三角形,则x取值范围是.参考答案:x【考点】HR:余弦定理.【分析】x2+6>x2+4≥4x>0,可得x2+6为最大边.由于此三角形为锐角三角形,可得cosθ=>0,解出即可得出.【解答】解:∵x2+6>x2+4≥4x>0,可得x2+6为最大边.由于此三角形为锐角三角形,∴cosθ=>0,化为:x2>,x>0,解得x.故答案为:x.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.定义函数g(x)=,f(x)=x2﹣2x(x﹣a)?g(x﹣a).(1)若f(2)=0,求实数a的值;(2)解关于实数a的不等式f(1)≤f(0);(3)函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】分段函数的应用;函数单调性的性质.【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(1)利用分段函数,分类讨论,求出实数a的值;(2)f(1)=1﹣2(1﹣a)g(1﹣a),f(0)=0,分类讨论,解关于实数a的不等式f(1)≤f(0);(3),利用函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)∵f(x)=x2﹣2x(x﹣a)?g(x﹣a),∴f(2)=4﹣4(2﹣a)g(2﹣a),当a≤2时,f(2)=4﹣4(2﹣a)=0,∴a=1,…当a>2时,f(2)=4+4(2﹣a)=0,∴a=3.…(2)∵f(x)=x2﹣2x(x﹣a)?g(x﹣a),∴f(1)=1﹣2(1﹣a)g(1﹣a),f(0)=0,当a≤1时,∴f(1)=2a﹣1≤0,∴,…当a>1时,∴f(1)=﹣2a+3≤0,∴,…∴或.…(3)∵f(x)=x2﹣2x(x﹣a)?g(x﹣a),∴,当a>0时,,∴2≤a≤3,…当a=0时,不合题意,…当a<0时,f(x)在[1,2]上单调递减,不合题意,…∴2≤a≤3.…【点评】本题考查分段函数,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19.二次函数满足,且.(1)求函数的解析式;(2)在区间上的图象恒在的图象上方,试确定实数的范围.参考答案:(1)根据题意,可设,即(2)(数形结合)画出函数,的图象略20.计算:(1).(2)lg14﹣2lg+lg7﹣lg18.参考答案:【考点】对数的运算性质.【专题】计算题.【分析】(1)先将根式转化为分数指数幂,再利用运算性质化简.(2)利用对数的运算性质化简.【解答】解:(1)(2)原式=(lg7+lg2)﹣2(lg7﹣lg3)+lg7﹣(lg6+lg3)=2lg7﹣2lg7+lg2+2lg3﹣lg6﹣lg3=lg6﹣lg6=0【点评】(1)化为同底数后注意指数的正负;(2)将每一个对数分解开后再合并时一定要细心,注意符号!21.(本小题共10分)已知等差数列{a}中,公差d>0,其前n项和为S,且满足a·a=45,a+a=14。(Ⅰ)求数列{a}的通项公式及其前n项和S;(Ⅱ)令b=(n∈N*),若数列{c}满足c=-,=bn(n∈N*)。求数列{c}的通项公式c;(Ⅲ)求f(n)=-(n∈N*)的最小值。参考答案:(Ⅰ)设数列{a}的公差为d>0,且数列{a}满足a·a=45,a+a=14.因为数列{a}是等差数列,所以a+a=a+a=14.因为d>0,所以解方程组得a=5,a=9.
2分所以a=3,d=2.所以a=2n+1.因为S=na+n(n-1)d,所以S=n2+2n.数列{a}的通项公式a=2n+1,前n项和公式S=n2+2n.
4分(Ⅱ)因为b=(n∈N*),a=2n+1,所以b=.因为数列{c}满足c=-,cn+1-cn=,所以cn+1-cn=(-).cn-cn+1=(-)…c2-c1=(1-)以上各式相加得:cn+1-c1=(1-)=.因为c1=,所以所以
7分(Ⅲ)因为f(n)=-,b=,c=-,所以f(n)=+.因为f(n)=+=+-,所以+-≥2-f(n)≥-=,当且仅当=,即n=2时等号成立.当n=2时,f(n)最小值为.
10分22.已知:向量(1)若tanαtanβ=16,求证:;(2)若垂直,求tan(α+β)的值;(3)求的最大值.参考答案:解:(1)∵tanαtanβ=16,∴sinαs
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