2022-2023学年上海市新川中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市新川中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．函数的定义域________.【答案】【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解.【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为，故答案为:.2．已知，，则______．【答案】##【分析】直接根据同角三角函数之间的关系即可得结果.【详解】因为，，所以，故答案为：.3．为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移______个单位.【答案】1【分析】利用函数图象的平移规律进行求解即可【详解】为了得到函数的图象，根据平移规律，可以把函数的图象右移1个单位，故答案为：14．函数的图象恒过定点______.【答案】【分析】利用指数函数的定义与性质求得定点坐标.【详解】令，解得，∴函数的图象恒过定点.故答案为：5．若幂函数的图象过点，则表达式___________.【答案】【分析】设，由可求得实数的值，即可得解.【详解】设，则，解得，.故答案为：.6．函数在其定义域上的单调性是______.【答案】单调递增【分析】直接根据幂函数的单调性即可得结果.【详解】幂函数，定义域，指数为，满足，故函数在其定义域上的单调性是单调递增，故答案为：单调递增.7．函数的增区间为______.【答案】【分析】利用定义法进行判断即可得解.【详解】任取，，因为，，当时，，，此时，，为增函数，所以函数的增区间为.故答案为：8．若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．函数是偶函数，且定义域是，则_________.【答案】【分析】根据函数奇偶性与定义域，列出方程组，求出的值，即可求出结果.【详解】因为数是偶函数，且定义域是，所以，即，解得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.10．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________．【答案】【解析】设，则，代入解析式得；再由定义在上的奇函数，即可求得答案.【详解】不妨设，则，所以，又因为定义在上的奇函数，所以，所以，即.故答案为：.11．函数的值域是______.【答案】【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解.【详解】，因为，，所以.故答案为：12．已知，实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】由求得的关系式，求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值.【详解】依题意.由，得，即①，即，，即②.所以，将②代入上式得，当且仅当时等号成立，，，即，即时取得最小值.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解很强，属于难题.二、单选题13．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：C.14．已知扇形面积为4，周长为8，则该扇形的圆心角为（

）弧度.A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】运用扇形面积公式，结合弧长公式进行求解即可【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，扇形面积为由题意可知：.故选：C15．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对于A，指数函数是非奇非偶函数，故A错误；对于B，令，定义域为，∵，则为奇函数，而在单调递减，在定义域上不单调，故B错误；对于C，的定义域为，故为非奇非偶函数，且在上是增函数，故C错误；对于D，令，其在定义域上单调递增，且，所以为奇函数，故D正确；故选：D16．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（

）(参考数据：)A． B． C． D．【答案】B【解析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.三、解答题17．（1）已知角的终边经过点．求，的值；（2）若，求的值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得结果；（2）分子分母同时除以即可得结果.【详解】（1）由于角的终边经过点，所以，（2）由于，所以.18．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可求得集合；（2）求出集合、，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，因此，；（2），，因为，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.19．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：10天）的数据如下表：时间51125种植成本1510.815（1）根据上表数据，从下列函数：，，，中（其中），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系；（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.【答案】（1）；（2）该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/）.【分析】（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数.（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.【详解】解：（1）以上市时间（单位：10天）为横坐标，以种植成本（单位/）为纵坐标，画出散点图（如图）.根据点的分布特征，，，这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，所以选取函数模型进行描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系.将表格所提供的三组数据分别代入，得解得所以，描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系的函数为.（2）由（1）知，所以当时，的最小值为10，即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/）.【点睛】判断模型的步骤：（1）作出散点图；（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.20．已知函数．(1)当时，判断在上的单调性并证明；(2)讨论函数的零点个数．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义，进行证明即可；（2）分离参数，将零点问题转化为函数交点问题，从而进行处理.【详解】（1）当时，时，该函数为单调递减函数，证明如下：在区间上任取，且则因为，故，且，则故当时，则函数在单调递减.即证.（2），等价于即等价于的根的个数，令，则其函数图像如下所示：由图可知：当或或时，直线与有两个交点；当或时，直线与只有一个交点；当或时，直线与有三个交点.故：当时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，有3个零点.21．设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”．（1）判断函数是否为上的“距增函数”？说明理由；（2）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；（3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若为上的“距增函数”，求的取值范围．【答案】（1）是上的“距增函数”，理由见解析；（2）；（3）.【解析】（1）根据“距增函数”的定义去判断即可；（2）如，答案不唯一，不小于即可；（3）先求出的表达式，通过讨论x的范围结合绝对值的几何意义，从而求出a的范围.【详解】（1）函数是上的“距增函数”，任意，有，且，所以，因此是上的“距增函数”．（2）；函数的定义域为，有，且，是上的“距增函数”．（3），因为为上的“距增函数”，i)当时，由定义恒成立，即恒成立，