2022-2023学年北京市丰台区高一年级上册学期数学期末试题【含答案】

2022-2023学年北京市丰台区高一上学期数学期末试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D2．已知a为实数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据，但，得到答案.【详解】，但，比如，则“”是“”的充分而不必要条件.故选：A3．化简后等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.【详解】因为，故选：.4．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据，可得，进而得出结论.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又，所以，故选：.5．已知函数，则它的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数，求得，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，即，由零点的存在定理，可得函数的零点所在的区间为.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的零点存在定理得应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.6．已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】将式子变形为，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，则（当且仅当，也即时取等号）所以的最小值为，故选：.7．声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】根据声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为，所以，解得；因为一般噪音时，声音的等级约为，所以，解得，；所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍，故选：C8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数单调性并借助特殊值1为“桥梁”，即可判断作答.【详解】因函数在上单调递减，而，于是得，函数在R上单调递减，而，于是得又，即，所以.故选：A9．在某校举办的“学宪法，讲宪法”活动中，每个学生需进行综合测评，满分为10分，学生得分均为整数．其中某年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下：给出下列四个结论：①1班学生得分的平均分大于2班学生得分的平均分；②1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差；③1班学生得分的第90百分位数等于2班学生得分的第90百分位数；④若两班中某同学得分为7分，且在他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】①分别求得平均分比较；②分别求得方差比较；③分别求得第90百分位数比较；④由低于7分的人数判断.【详解】①1班学生得分的平均分,2班学生得分的平均分,故错误；②1班学生得分的方差:，；2班学生得分的方差，,故错误；③1班学生得分的第90百分位数是9，2班学生得分的第90百分位数是9，故正确；④若两班中某同学得分为7分，1班低于7分的是24人，2班低于7分的是10人，因为他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班，故正确．故选：D10．已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由时，，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解.【详解】解：当时，，则在上递增，在上递减，且，由知：时，，时，，且在上递增，在上递减，因为，当时，，因为，所以，令，解得，所以满足，的t的最大值是，故选：C二、填空题11．已知幂函数的图象经过点，则________．【答案】【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，则，所以，则，故答案为：.12．函数的定义域是_____________．【答案】【详解】试题分析：函数有意义得：，解得即函数定义域为．【解析】求函数定义域．13．能说明“，”是假命题的一个实数a的取值是________．【答案】(中任一值均可)【分析】根据题意可知：命题为真命题，列出不等式解之即可.【详解】因为命题：，为假命题，所以命题：为真命题，也即成立，所以，故答案为：4（中的任一值均可）14．已知函数给出下列四个结论：①当时，；②若存在最小值，则a的取值范围为；③若存在零点，则a的取值范围为；④若是减函数，则a的取值范围为．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.【详解】①当时，，，故①正确；②当时，有最小值0，此时为减函数，且，无最小值，故无最小值，当时，无最小值，无最小值，故无最小值，当时，为增函数，最小值为，单调递减，所以只需满足，解得或，所以，故②正确；③令若有解，则，令若有解，则，解得或，综上若存在零点，则a的取值范围为，故③错误；④若是减函数，则需满足且且，解得或，故④正确.故答案为：①②④三、解答题15．某校高中部有高一学生600人，高二学生480人，高三学生420人．某研究小组为了调查该校高中部不同年级学生课后作业量的情况，现采用分层随机抽样的方法在三个年级共抽取100名学生，应抽取高一学生的人数为多少？【答案】40【分析】利用分层抽样比求解.【详解】解：应抽取高一学生的人数为

.16．已知关于x的不等式的解集为．(1)求实数a，b的值；(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得，求实数m的取值范围．条件①：集合；条件②：集合．注：如果选择多个条件分别作答，挍第一个解答计分．【答案】(1)(2)详见解析；【分析】（1）根据不等式的解集为，由求解；（2）选①集合，根据，由求解；选②集合，分和两种情况，根据求解.【详解】（1）解：因为关于x的不等式的解集为,所以，解得；（2）选①集合，因为，所以，解得，所以实数m的取值范围．选②集合，当时，，解得，符合题意；当时，则，，综上：实数m的取值范围．17．如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．(1)用，表示，；(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．【答案】(1)，；(2)答案见详解.【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得，由结合已知可得；（2）根据可推出，即.再根据有公共点，可证得三点共线.【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得..（2）证明：由（1）知，，所以，所以，所以，，共线.又直线，直线有公共点，所以，，，三点共线.18．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)求样本中停车时长在区间上的频率；(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议．【答案】(1)(2)(3)不超过分钟【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1求解.（2）先算出区间上的频率，然后再求间上的车辆数.（3）求得是第25百分位数.【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，可列等式为所以样本中停车时长在区间上的频率为（2）根据频率分布直方图可知在区间上的频率为，所以计该天停车时长在区间上的车辆数为：（3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则满足确定免费停车时长为不超过分钟.19．已知函数．(1)判断的奇偶性，并证明；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出的图象，并写出该函数的值域；(3)写出不等式的解集．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断；（2）利用指数函数的图象和性质求解；（3）在同一坐标系中，作出函数的图象求解.【详解】（1）解：的定义域为R，关于原点对称，又，所以是偶函数；（2）的图象如图所示：由函数的图象知：函数的值域；（3）在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：，由图象知：不等式的解集为：.20．已知函数．(1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；(2)设，若，，使得，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2).【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）由函数单调性求出函数值域，若，，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可.【详解】（1）在区间上的单调递增，证明如下：设且，则，因为，所以，，，所以，即，所以在区间上的单调递增.（2）由（1）知时，，即时，，因为当时为减函数，所以，若，，使得，则,即，解得，故实数a的取值范围为21．已知集合．若集合A是U的含有个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为．(1)写出U的所有“2元零子集”；(2)求证：当，且时，；(3)求的值．【答案】(