2022-2023学年北京市第十二中学高一年级上册学期期末试题数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市第十二中学高一上学期期末试题数学试题一、单选题1．已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合，再根据集合间的运算关系即可求解.【详解】，，，.故选：B2．下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B，利用作差法判断D.【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：若，，则，故B正确；对于C：当时满足，但，故C错误；对于D：若，，则，．所以，所以，故D错误．故选：B．3．已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为，因为弧长为的扇形圆心角为，所以，所以，所以此扇形的面积为.故选：C.4．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可求解.【详解】函数，可得函数在上单调递增，因为，，，，，所以，所以函数的零点所在区间为.故选：C.5．“”是“”成立的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.【详解】当时，一定有，即必要性满足；当时，其正切值不存在，所以不满足充分性；所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.6．若对任意的都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.【详解】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，故选：A7．函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.【详解】∵，即，∴为偶函数；又∵当时，则，故，∴；综上所述：A正确，B、C、D错误.故选：A.8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.【详解】函数的定义域为等价于恒成立，当时，显然不恒成立；当时，由，得，综上，实数的取值范围为．故选：C．9．设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据指对数判断的大小关系，在根据单调性结合偶函数的性质分析判断.【详解】∵，，∴.又函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，∴，且在上单调递减.又，∴.故选：C.10．下列结论中错误的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；C．，，则；D．若是第三象限角，则是第二象限角．【答案】D【分析】根据终边相同的角的集合的概念以及特征可判断AC；定义根据角的概念可判断B；由象限角的概念可判断D.【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故A正确；将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故B正确；表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，故C正确；由于为第三象限角，所以，故，所以是第二或第四象限角，故D错误；故选：D.11．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，）（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【分析】由题意可知经过小时后，体内的酒精含量为，令求出t的取值范围，即可求出结果．【详解】解：经过t小时后，体内的酒精含量为：，只需，∴t＞＝＝≈＝3.8，∴他至少要经过4个小时后才能驾车.故选：B．12．定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意，有，，则方程实数根的个数为（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】B【分析】由于题意可得函数以4为周期，分，，三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意有，得，则函数以4为周期，由于函数的图象关于直线对称，则，又，所以，则函数的图象关于对称．当时，，由得，则，作出与的大致图象如图，令，则，而，由图可知，与在上有个交点；当时，，由得：，令，，得，由上述可知，与在上有个交点，故与在上有个交点，又时，成立，所以方程实数根的个数为．故选：B．二、填空题13．______．【答案】3【分析】利用指数幂和对数的运算性质求解即可．【详解】．故答案为：3．14．函数的定义域是__________．【答案】【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.【详解】因为函数,所以解得且，即函数的定义域为.故答案为：.15．已知函数可用列表法表示如下，则的值是______．123【答案】3【分析】根据表格由内向外求解即可．【详解】根据表格可知，∴．故答案为：3．16．已知，，，为锐角，则的值是______．【答案】【分析】利用平方关系求出及，又，利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】因为均为锐角，所以，又，，所以，，所以.故答案为：.17．定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数，，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的可能取值是______．（写出一个满足条件的值即可）【答案】1（答案不唯一）【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围，即可写出答案．【详解】当时，单调递增，由题意，不妨设，则，由，得，因为，所以，所以，所以，所以常数的取值可以是：1．故答案为：1（答案不唯一）．18．已知函数（其中，），，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3．其中正确的命题有______．【答案】②③④【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故③④正确，求得的解析式即可判断①，由函数的对称性可判断②.【详解】设的周期为，∵，，∴，，故，则，，由，则，故，，，当时，，，∵在区间上单调，∴，故，即，则，故，即，又，，所以或，故③④正确；当时，，，又，则，此时不是偶函数；当时，，，又，则，此时不是偶函数，故①错误；由题可知是函数的一条对称轴，故成立，故②正确.故答案为：②③④.三、解答题19．已知角终边上一点．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据三角函数的定义即可求出的值；（2）由诱导公式化简后求解.【详解】（1）由题意可得，.（2）.20．已知函数，且.（Ⅰ）若，求a的值.（Ⅱ）若在上的最大值与最小值的差为1，求a的值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）根据题意，代入数据，化简计算，即可得答案.（Ⅱ）若，则为单调递增函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值；若，则为单调递减函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值，综合即可得答案.【详解】（Ⅰ）因为，所以所以，即，解得或（舍）；（Ⅱ）若，则上为单调递增函数，所以的最大值为，最小值为，根据题意可得，所以，所以，即，解得或（舍）；若，则上为单调递减函数，所以的最大值为，最小值为，根据题意可得，所以，所以，即，解得或（舍）综上，a的值为或.21．已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为，(2)最大值3；最小值2【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得最小正周期，由三角函数的性质求出函数的单调递减区间；（2）求出的范围，然后结合三角函数的性质即可求得最值．【详解】（1）．的最小正周期，令，，解得，，的单调递减区间为，；（2）因为，所以，当，即时，取最大值3；当，即时，取最小值2．22．已知函数为奇函数．(1)求的值；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)对于任意，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)或．【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结果；（2）利用单调性的定义判断并证明即可；（3）由的奇偶性和单调性，可得恒成立，令，，由二次函数的性质分类讨论求得的最小值，即可得的取值范围．【详解】（1）为奇函数，且定义域为，则对于任意恒成立，∴∴．（2），在定义域上任取，且，则，，又，故，即，因此，函数在定义域上为增函数．（3）函数在定义域上为增函数．对于任意，恒成立，则，因为在上为增函数，可得，即恒成立，令，当，即时，在上单调递增，，则，解得或，又，则；当，即时，在上单调递减，恒成立，则符合题意；当，即时，，则，解得或，又，则．综上所述，或．23．已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．(1)已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；(2)求证：任取，函数，具有性质；(3)已知函数，，若具有性质，求的取值范围．【答案】(1)具有性质，理由见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）