2022-2023学年北京市朝阳区高三年级上册学期期末考试数学试卷

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷数学2023.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，则 （A） （B）（C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（3）函数的零点的个数为（A） （B）（C）（D）（4）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（A） （B）（C） （D）（5）在中，“”是“为等腰三角形”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则的最大值为第（7）题（A） （B）第（7）题（C） （D）（7）已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于 （A）（B） （C）（D）第（8）题（8）年月日，长征五号遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的关系满足，,,之间的关系如图所示，则下列结论正确的是第（8）题（A）当，时，（B）当，时，（C）当，时，（D）当，时，（9）已知,,是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（A） （B）（C） （D）（10）在数列中，，，若存在常数，对任意的，都有成立，则正数的最大值为（A） （B）（C） （D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。（11）在的展开式中，常数项为．（用数字作答）（12）已知等差数列的公差，，且,,成等比数列，则；其前项和的最大值为．（13）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为．（14）抛物线:的准线的方程为．若点是抛物线上的动点，与轴交于点，则(是坐标原点)的最大值为．（15）如图，在棱长为的正方体中，,分别为,的中点，点在正方体的表面上运动，满足.给出下列四个结论：点可以是棱的中点；第（15）题线段长度的最小值为；第（15）题点的轨迹是矩形；点的轨迹围成的多边形的面积为.其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最小值．（17）（本小题13分）跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共个班），规定每班人参加，其中人摇绳，人跳绳，在分钟内跳绳个数超过个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：高三（）班：，，，，，，，，，；高三（）班：，，，；高三（）班：，，，；高三（）班：，，，，，．假设用频率估计概率，且高三年级各班在分钟内的跳绳个数相互独立．（Ⅰ）估计高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；（Ⅱ）用表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计的数学期望；（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，,分别为,的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知椭圆的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于另一点，直线,分别与轴相交于点,．当时，求直线的方程．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若，证明：．

（21）（本小题15分）已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若数列的前项为,,,，写出,,,的值；（Ⅱ）证明：对任意的，均有；（Ⅲ）证明：存在正整数，当时，．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D（6）A （7）B （8）C （9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（

11

） （12） （13）（14）

（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以．又因为，所以．（Ⅱ）因为，，由余弦定理，得．因为，当且仅当时等号成立，所以，解得． 所以的最小值为．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件为“高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．根据题中数据，高三（）班共训练次，跳绳个数超过个的共次．所以估计为．（Ⅱ）设事件为“高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，．根据题中数据，估计为，估计为，估计为．根据题意，随机变量的所有可能取值为,,,,，且；；；；．所以，估计为；估计为；估计为；估计为；估计为．所以估计为．（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（）班获得冠军的概率估计值最大．（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）取的中点,连接,.因为,分别是,的中点,所以且.又且，所以且.故四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取中点，连接,.在中，因为，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.故,.又在正方形中，,所以,,两两垂直.如图建立空间直角坐标，设，则,,,,.所以，，.设平面的法向量为，则即令，则,．于是．又因为平面的一个法向量为，所以．选择条件①：．则，即．又，所以．此时．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．选择条件②：．则，得．此时．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为面积的最大值为，所以．又因为，，所以，．所以椭圆的方程为，离心率为．（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为．显然∽．因为，所以．不合题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由得．显然．设，，且，则，．直线的方程为．令，得点的纵坐标，则．直线的方程为．同理可得．所以．所以．即．可得．化简得．解得．所以直线的方程为或．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）的定义域为．由得．令得．因为，所以当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）由，依题意，在上恒成立．设，则．令，得（舍），．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．故．又由得．所以．依题意需，即．设，则易知在为增函数．又，所以对任意的，有；对任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范围为．（Ⅲ）由得，且,．由（Ⅱ）知，当时，，当且仅当时取等号．所以，．两式相加得，即．故．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）对任意，存在，使得．若或，则或又可以写成数列中某两项的和，如．依此类推，存在，使得，其中．所以存在，使得，且．设，则