2021-2022学年山东省东营市胜利高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省东营市胜利第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解出集合N，再对四个选项一一验证.【详解】因为，.所以.对于A：不成立；对于B：.成立；对于C：不成立；对于D：，故D不成立.故选：B2．已知是纯虚数，其中是虚数单位，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘除法运算及纯虚数的定义即可得出答案.【详解】解：若为纯虚数，则，解得.故选：C.3．经过点，倾斜角为的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由倾斜角为可得，直线斜率为由直线的点斜式方程得直线方程为；即.故选：C.4．若抛物线上的点到焦点的距离为则（

）A． B．2 C．6 D．【答案】D【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，，所以故选：D.5．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.6．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可.【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得，所以，故选：A7．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项【详解】由题意得，故∴，△ABC是直角三角形故选：C8．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、多选题9．，关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知条件得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】，关于的不等式恒成立，则，解得.故选：BD.10．已知函数，则（

）A．函数图象的一条对称轴方程为B．函数的最小正周期为C．是函数的一个零点D．函数在上单调递增【答案】BC【分析】由正弦型函数的对称性结论判断A，由正弦型函数的周期性的结论判断B，由函数的零点的定义判断C，由正弦函数的单调性判断D.【详解】当时，，所以直线不是函数图象的对称轴，A错，由正弦型函数的周期公式可得函数的周期，B对，当时，，所以是函数的一个零点，C对，由可得，因为函数在单调递增，在单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，D错，故选：BC.11．已知点，分别为圆：与圆：上的两个动点，点为直线：上一点，则（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】AC【分析】根据题意，作出图形，当三点共线时最小，即；由知当取到最大即时最大，结合两点坐标求距离公式计算即可.【详解】由，得，所以圆心，半径为；由，得，所以圆心，半径为；设点关于直线对称的对称点为，有，解得，即，连接，交直线于点，即当三点共线时，最小，且，连接，此时最小，当取到最大时，取到最大值，如图，由图可知，，所以的最大值为，故A正确，B错误；，故C正确，D错误.故选：AC12．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（

）A． B．数列单调递增C．若p为质数，则数列为等比数列 D．数列的前4项和等于【答案】AC【分析】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与都互质，所以A正确；由，可知B错误；若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数的数目为个，故，所以，即数列为等比数列，故C正确；根据选项C可知，数列的前4项和为，故D错误.【详解】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与共28个数都互质，即，所以A正确；由题目中，以及可知数列不是单调递增的，B错误；若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，即每p个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为个，故，所以为常数，即数列为等比数列，故C正确；根据选项C即可知，数列的前4项和为，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题主要是理解函数的定义，难点是选项C的证明，主要是确定与互质的数的个数；若p为质数，在小于等于的正整数中每p个数当中就有一个与不互质，则不互质的数目个数为个，所以互质的数的数目为个，即可证明数列为等比数列，并可计算数列前n项和.三、填空题13．若函数是奇函数，则的值为__________．【答案】【分析】由奇函数的性质有恒成立，列方程求参数值即可.【详解】由，又为奇函数，，即，所以，显然，故.故答案为：14．已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．【答案】1【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合正方体的对角线长等于外接球的直径，列出方程，即可求解.【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得，由，可得，即，解得．故答案为：1．15．已知实数x，y满足，若，则z的最小值是_____【答案】8【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值．【详解】因为，所以，，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当，即时等号成立，此时．故答案为：8．四、双空题16．已知函数，则的零点为___________，若，且，则的取值范围是__________．【答案】

【分析】根据分段函数以及零点的定义，令即可解得函数的零点；由可知在1的左右两侧，分别代入计算得出的关系式，将消元之后构造函数即可求得其取值范围.【详解】令，即，解得不合题意，舍去；或，解得，符合题意；所以，函数的零点为.由，且可知，当时，,不合题意；当时，，不合题意；所以，分别属于两个区间，不妨取，则，即；所以，则，令，所以令，得，当时，，即函数在上为单调递减；当时，，即函数在上为单调递增；所以函数在时取最小值，即，即所以的取值范围是.故答案为：；【点睛】方法点睛：本题在求解的取值范围时首先应确定两个变量的取值范围，根据等量关系将双变量问题消元，转换成单变量问题后构造函数，利用自变量取值范围即可求得结果.五、解答题17．已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为.(1)求圆的方程；(2)若点在圆上，求点到直线的距离的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可设圆的方程为，利用几何法建立弦长的关系，求出即可；（2）直线与圆相离，则到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求解【详解】（1）因为圆心在射线，则可设圆的圆心为，其中，因为圆与轴相切，所以圆的半径为，圆的方程为，设圆心到直线的距离为，则，由弦长的几何关系得，解得，所以圆的方程为；（2）因为圆心到的距离为，所以直线与圆相离，点到直线的距离的最小值为18．在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【答案】见解析【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；【详解】解：选择①：所以；由余弦定理可得所以选择②设，则，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.19．设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求使成立的的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得；（2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于的不等式，解之即可得解.【详解】（1）解：设等比数列的公比为，则，由，故.（2）解：，则，整理得，当为偶数时，，不合乎题意；当为奇数时，则，可得，可得.因此，的最大值为.20．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱的中点.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件，先证明平面，根据面面垂直的判定定理可得结论成立；（2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件分别求得平面和平面的法向量，计算两个法向量的夹角的余弦值可得二面角的余弦值．【详解】（1）证明：由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可得，平面，平面且，所以平面，又平面，则,因为，是棱的中点，所以，平面，平面且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由三棱锥的三条侧棱两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，即，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21．设函数f（x）＝lnx＋，k∈R．（1）若曲线y＝f（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x－2＝0垂直，求f（x）的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；（2）若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）．【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义以及两直线垂直关系可得k＝e，再根据导数得到函数的单调性和极值；（2）转化为h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x(x>0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k≥－x2＋x＝恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案.【详解】（1）由题意，得，∵曲线y＝f（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x－2＝0垂直，∴，即，解得k＝e，∴，由<0，得0<x<e；由>0，得x>e，∴f（x）在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．当x＝e时，f（x）取得极小值，且f（e）＝lne＋＝2．∴f（x）的极小值为2．（2）由题意知，对任意的x1>x2>0，f(x1)－x1<f(x2)－x2恒成立，设h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x(x>0)，则h（x）在(0，＋∞)上单调递减，∴≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x>0时，k≥－x2＋x＝恒成立，∴k≥．故k的取值范围是．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.22．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.(1)求抛物线的方程；(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.【答案】(1)；(2)16.【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P的坐标，结合抛物线定义列式计算作答.（2）设出直线AB、CD的方程，求出点H坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借助均值不等式求解作