2021-2022学年广东省深圳市龙华区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年广东省深圳市龙华区高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．120° D．135°【答案】B【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】的斜率为1，故倾斜角满足，又倾斜角大于等于0°小于180°，故倾斜角为45°.故选：B2．已知空间中两点，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算，再计算模长得到答案.【详解】，，故，故.故选：B3．各项为正的等比数列中，，，则的前项和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比数列性质和通项公式可求得公比，代入等比数列求和公式即可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，，，又，，解得：，.故选：A.4．圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【答案】C【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解．【详解】由与圆，可得圆心，半径，则，且，所以，所以两圆相内切．故选：C．5．如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为，最远的距离为.若太阳的半径忽略不计，则该椭圆轨迹的离心率约为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，列出与，列方程组，求出与，得到离心率，可得答案.【详解】根据图像，设椭圆的长轴为，焦距为，故根据题意，，，解得，，.故选：C6．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为，代入点的坐标即可求得结果.【详解】根据渐近线方程可设双曲线方程为：，双曲线过点，，双曲线的标准方程为：.故选：A.7．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量数量积及模长公式,计算即可.【详解】设,因为,所以又因为,所以,即得可得点的轨迹方程为故选:.8．如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，若，，，则截面与底面所成二面角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的一个法向量为，计算得到答案.【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，取得到，平面的一个法向量为，，故截面与底面所成二面角的余弦值是，故选：B二、多选题9．当取一定实数值时，方程可以表示为（

）A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的椭圆D．焦点在轴上的双曲线【答案】ABC【分析】比较的正负以及大小，进而确定方程所表示曲线的形状.【详解】∵，且，则有：当，即时，方程表示焦点在在轴上的双曲线，B正确；当，即时，则有：①当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，A正确；②当，即时，方程即为，表示圆心在坐标原点，半径为2的圆；③当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，C正确；对于D：若方程表示为焦点在轴上的双曲线，则，无解，D错误.故选：ABC.10．在正方体中，若，，，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据空间向量基本定理，用作为一组基底表示出空间向量，即可得到.【详解】由已知可得，不共面，则可以作为空间向量的一组基底.对于A项，，故A项正确；对于B项，，故B项错误；对于C项，，故C项错误；对于D项，，故D项正确.故选：AD.11．年，意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列，其递推公式可以表示为，（），则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据递推关系对四个选项逐一分析判断即可.【详解】由题意可知，，，，AB正确；因为，，，……，，，各式相加得，所以，C错误；因为，D正确；故选：ABD12．城市的很多街道都呈平行垂直状，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.仿此，如图，平面直角坐标系上任意不重合两点，，线段的中点为，中垂线为.定义，间的折线距离.若满足，则下列说法正确的是（

）A．无论，位置如何，都满足的条件B．当或时，可取上任一点C．当直线的斜率为时，可取上任一点D．当直线斜率存在且不为时，均可取上任一点【答案】ABC【分析】根据“折线距离”的定义逐项计算.【详解】对于A，，，，正确；对于B，假设，则l平行于x轴，设，则有：，，正确；同理当时也正确；对于C，设AB的斜率为1，则l的斜率为-1，则有，直线l的方程为：，化简得：，设，则，，正确；同理当AB的斜率为-1时也正确；对于D，不妨假设，则AB的斜率为，则l的斜率为，，直线l的方程为，在l上取点，则有，错误；故选：ABC.三、填空题13．经过点且与直线平行的直线方程是____.【答案】【分析】设出所求直线方程为，利用点的坐标求出c，即得答案.【详解】由题意可设与直线平行的直线的方程为，将代入，得，故经过点且与直线平行的直线方程是，故答案为：14．已知曲线（）与抛物线的准线相切，则____.【答案】【分析】确定抛物线的准线为，得到得到答案.【详解】抛物线的准线为，曲线与相切，故且，则.故答案为：15．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____.【答案】【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值.【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故.故答案为：.四、双空题16．在平面直角坐标系中，满足的点构成一个圆，经过点且与之相切的直线方程是____；类似地，在空间直角坐标系中，满足的点构成的空间几何体是一个球，则经过点且与之相切的平面方程是____.【答案】

【分析】首先设切线上任一点，利用垂直关系建立等式，转化为切线方程；设切面上任一点，同样利用垂直关系，转化为数量积表示的等式，即可球切面方程.【详解】设，，所以点在圆上，设切线上任意点，则，即，则，即；设，与球相切的平面上任一点，则，即，，化简为.故答案为：；五、解答题17．如图，在平面直角坐标系上，有点，，.(1)证明：是直角三角形；(2)求的外接圆方程.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由两点之间斜率公式，根据两直线垂直的斜率关系，可得答案；（2）根据直角三角形外接圆的性质，利用中点坐标公式以及两点之间距离公式，可得答案.【详解】（1）依题意得，，所以，所以，即是直角三角形.（2）取的中点，，所以的外接圆方程是.写成一般式：.18．已知等差数列中，，.(1)求的通项公式；(2)若的前项和为，求的最大值.【答案】(1)(2)2020【分析】（1）计算，得到等差数列公差，得到通项公式.（2）计算，根据二次函数性质得到最值.【详解】（1），，设的公差为，，所以，.（2）（法一），所以是单调递减数列，因为，设的前项和最大，则，即或，的最大值为.（法二），，的前项和为，即，对称轴，所以或时取最大值，最大值为.19．已知为椭圆（）上一点，，是的焦点，.(1)若，求椭圆的离心率；(2)若点的坐标为，求椭圆的标准方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，，则，利用椭圆定义和勾股定理，从而求出答案；（2）（法一）设，，求出、、，利用得，再由求出，利用，从而得到椭圆方程；（法二）设，，利用椭圆定义和勾股定理得，可得，由在椭圆上得，结合解得可得答案.【详解】（1）设，，依题意，不妨设，则，所以解得，即；（2）（法一）设，，则，，，由得，即，解得，所以，，所以，即，，故椭圆的的方程为；（法二）设，，又由得，即，另一方面，所以，由在上得，即，所以，又由，解得，即，，即椭圆的的方程为.20．截至年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为万辆.若此后该市每年新增普通汽车万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的，其它情况视为不计.(1)设从年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列，试写出与的一个递推公式，并求年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；(2)根据（1）中与的递推公式，证明数列是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于万辆？（参考数据：，，，）【答案】(1)，240（万辆）(2)证明见解析，年末【分析】（1）根据题意得到递推公式，再依次计算得到答案.（2）变换得到，得到证明，再计算得到答案.【详解】（1），，故，，所以年末该市普通汽车的保有量（万辆）.（2）得，而，故是首项为，公比为的等比数列，所以，即，解得，求得，即从年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于万辆.21．如图1，边长为的菱形中，，，，分别是，，的中点.现沿对角线折起，使得平面平面，连接，如图2.(1)求；(2)若过，，三点的平面交于点，求四棱锥的体积.【答案】(1)(2)【分析】（1）证明平面，建立空间直角坐标系，得到，，再计算夹角得到答案.（2）计算平面的法向量为，再计算到平面的距离为，最后计算体积得到答案.【详解】（1）连接，，平面平面，平面平面，，平面，故平面，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，因为，分别是，的中点，所以，，所以.（2）连接，，，设平面的法向量为，则，，即，令，则，，所以，设到平面的距离为，而，，依题意得四边形是一个菱形，，，所以，所以.22．在平面直角坐标系中，直线与抛物线（）交于点,设直线、的斜率分别为、.(1)若直线经过抛物线的焦点，证明：；(2)若（为常数），直线是否经过某个定点？若经过，求出这个定点；若不经过，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)当时，直线经过定点；当时，直线不过定点.【分析】(1)设直线，、，联