初中数学中的规律

初中数学中的规律佛山市教育局教学研究室

孙治中

2012年12月一、规律概念(百度百科)1.什么叫规律？基本解释：事物之间的内在的必然联系，决定着事物发展的必然趋向。详细解释：规章律令；整齐而有规则；事物之间的内在的必然联系，决定着事物发展的必然趋向。哲学解释：规律亦称法则，是客观事物发展过程中的本质联系，具有普遍性的形式。

规律和本质是同等程度的概念，都是指事物本身所固有的、深藏于现象背后并决定或支配现象的方面。然而本质是指事物的内部联系，由事物的内部矛盾所构成，而规律则是就事物的发展过程而言，指同一类现象的本质关系或本质之间的稳定联系，它是千变万化的现象世界的相对静止的内容。

规律是反复起作用的，只要具备必要的条件，合乎规律的现象就必然重复出现。世界上的事物、现象千差万别，它们都有各自的互不相同的规律，但就其根本内容来说可分为自然规律、社会规律和思维规律。一个客观事物，有其内在本质属性，也有外显的表现形式。其中内在本质属性关系可以理解为规律，外显部分中同一类现象的(本质关系的)描述亦可称为规律的描述。比如，一元二次函数的本质，你很难有完整的、全面的认识，我们只知道教材中一元二次函数的显性规律(从数的角度看，左右的取值是全体实数，上下的取值一边有界而一边无限；从形的角度看，图形成轴对称，在对称轴的两边有增减变化)，但难以知道随着自变量每变化一个单位时因变量的变化情况(这反映了离对称轴远近图形的变化的缓急)。2.规律的特点客观性：规律是客观的，既不能创造，也不能消灭；不管人们承认不承认，规律总是以其铁的必然性起着作用。普遍性：主要指对于同一本质的事物和现象具有普遍的支配作用(不含规律的普遍存在性)，如新陈代谢、四季更替，它适用于所有的阶段、社会、领域、层次等。

必然性：指规律的存在、作用及规律作用的后果的不可避免性。

规律也是永恒的。规律与规则不同，规律是不变的客观存在，规则是人为制定的且可修改、补充或废除。二、初中数学中的规律这里主要说明数学现象的规律，而不说明研究数学现象的规律。

(3)数的规律三，研究数的集中或变化的趋势(如统计中大量数据所反映的规律)。描述自然现象的大量随机数据呈现的规律，如频率估计概率、数据分布形态(正态分布、二项分布、超几何分布等)。

(5)图形中的数值规律图形中的数值规律主要是指图形的构成要素中所蕴含的数量关系，主要有如下几类：平面直线型图形中的边、顶点、对角线、图形构造的三角形、直线的交点等数量及其关系，如“平面上10条直线每两条相交最多有多少个交点”的问题；图形变化时的不变量，即保数变换，如图形变化时角的大小、面积大小等不变；正多面体中的欧拉公式；我们把数独、九宫、幻方等也归为这一类。

(6)图形规律图形规律主要是指图形构成中所蕴含的图类、关系、特征性质等。对称变换、旋转变换、相似变换等；保形变换、不动点问题等；玩扑克牌、棋盘上的构图、堆积木、魔方等；等腰三角形、平行四边形等类图形的性质(可归在下一类)。(7)法则、公式、定理等根据对规律的解释，这些无疑都是规律。某些概念亦可归结为此类。(8)方法古指量度方形的法则，现指为达到某种目的而采取的途径、步骤、手段等。技术性的定义为“在人们若干做事过程的动作集合中，若这些过程的动作逻辑具有共同的特征集A，就说这些过程采取了方法A”【互动百科】。这里主要指程序性的解决问题的方法，如解各类方程(组)的方法。(9)模型如方程、函数、不等式、概率等模型，显然是各类对象或现象的规律反映。(10)*学习与研究的一般规律(这是补充的研究数学现象(对象)的规律)分类的方法(生活与科学，学科门类与门内等)、分析的方法(因素分析，多元分析等)、发现的方法、推理的方法、思考的方法、调查的方法等；比如在学习几何时，图形从简单到复杂的构造的规律。比如在学习四边形时，如何认识与研究四边形，如何认识与研究平行四边形、矩形等的特征与判定。案例摘自本人教材分析《平行线的特征寻根》我们知道，在几何知识的学习中，通常会根据一个(或一类)图形的部分必要的特征给出这个(或这类)图形的定义概念，然后会研究除了定义所给出的特征外的其它特征。在知道平行线的概念之后，给出两条平行直线

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，那么这两条直线除了在同一平面内没有公共点这些特征外，还有其它的特征吗？课本里给出的特征是“两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”，这是很奇怪的事情，我们研究两条平行直线的特征，怎么会产生角的问题呢？那么这个关于角的结论的“根”是什么呢？平行直线的特征还有哪些呢？

l1l2BADCFEHGIJNM如果我们可以进一步思考，把这个图形固有的、但是隐含的特征作为研究的对象，则有以下两个主要问题可以提出来。最可能出现的问题之一是观察到作平行线的垂线段AB和CD，则AB=CD(反映两条平行线之间远近的问题)。最可能出现的问题之二是观察到作平行线的倾斜程度相同的线段EF、GH和IJ，则EF=GH=IJ。这两个问题的说明，近似的是根据测量的结果，较为严格的需要四边形的知识。如果把线段两端延长成MN的部分(这是可行的)，就可能有课本里角的问题。关于角的问题的说明，近似的亦是根据测量的结果，较为严格的是用反证的方法。

以上三个问题都不是平行直线的图形中的显性问题，而是在图形改变后所产生的拓展的问题。

*如果说关于角的结论是判定直线平行的条件，那么关于线段的结论也是判定直线平行的条件。这里先研究角的问题，原因可能是线段的问题可以归结到四边形中去。

案例结束。2.如何认识规律主要是归纳，要结合观察、分析、运算、抽象概括，也要对各种现实问题和数学问题有好的理解，有较为丰富的数学知识和数学方法。

3.认识规律有什么用一般来说，人的所有行为都有其用意。规律的抽象性使得它比单纯的行为更有用。无需多解释，教师们都懂！三、初中阶段应关注的规律性问题初中阶段应关注的规律应该是简单的、基础的、核心的部分，而且容易理解和掌握，通过规律性问题的学习，形成一些在这个阶段应有的认识、观点、方法、思想和能力。数的规律中，无疑应关注自然数及其分类，它是一切与数有关的规律的基石。自然数的运算，自然是一切运算的基础，但有理数的运算是恰当的学习内容，因此有理数的运算规律是必须掌握的。代数是数的抽象形式，是描述和表达数的规律的(有效的和好的)手段和工具。初中阶段学习的各种代数式及其运算都是要重视的。图形构造规律和图形特征认识是重要的，初中要求的图形变换也是重要的，但图形中蕴含的数量规律只需要研究简单的。数学事实、法则、公式、定理等是必须要学好的。具体的数学方法、数学的模型方法也是必须要学好的。*认识数学与研究数学的一般原理、方法等，是在初中阶段进行奠基。今后学生学习或者离开学校环境的生活好坏，主要是看现阶段是否奠定了扎实的基础。注：前面规律分类中的内容，红色的要求应小心或者控制，蓝色的要求可选择，黑色的要求应必会！四、初中阶段学习规律应注意的问题1.规律学习要循序渐近比如北师大版初中数学教材七年级(上)第一章中，关于探究棱柱有多少个顶点、多少个面等的问题，有人设计为如下问题：有些资料会把题目中的表格出成下表：

三棱柱四棱柱五棱柱…n棱柱顶点数

边数

这是非常不合适的，主要是表的最后一列的

棱柱的问题：一是“n”是用一个抽象的字母代表数，学生虽然在小学可能接触到，但初中还没有具体学习字母代数；二是n棱柱是一个抽象的图形，只存在于思维中而没有现实表现；三是由

棱柱所得的问题结果是一个代数式，这又是一个后续的知识，大多数学生不能理解。不考虑学生学习的阶段性，超越了学生的认知基础，而根据老师的经验来出题，是老师经验起了副作用．然而在教学实践中，这样的例子经常出现，很不好！！！

本题如果要出的话，可以放在七年级(上)第三章“代数式”中《探索与表达规律》的学习之后，或者放在学期结束或复习备考时。2.要注意似易可能会实难的问题比如二次型的规律，若发现的规律为n(n+2)还是较容易的，若发现的规律为n2+2n则是不容易的。若把规律n(n+2))改写为n2+2n，仅从式子变形的角度看可能是容易理解的，而要学生认同这两个式子代表相同的规律可能并不那么简单！3.要注意