大学微积分第一章 函数

第一章函数一.区间和邻域六.基本初等函数三.函数概念四.函数的特性五.复合函数七.初等函数八.经济学中常用的函数二.映射一.区间和邻域⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.开区间闭区间预备知识有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.半开区间无限区间⑵【邻域】设

>0则开区间

称为点

的

邻域。记作其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:【定义】以点为中心的任何开区间称为点的邻域。记作a

a

(1)【定义4】设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f

,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X

到Y

的映射,记作元素y称为元素x

在映射f

下的像

,记作元素

x

称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;记作Df

=XY

的子集称为

f的值域

.二、映射1、映射【注意的问题】①映射具备三要素②映射的特点对映射若,则称f为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.(2)【定义】①满射②单射③双射2.【逆映射与复合映射】⑴【逆映射】是单射定义称映射为映射的逆映射【注】满且单，故而是双射①只有f

是单射才存在逆映射.②②【复合映射】定义【注意】1.【定义】因变量函数值自变量函数定义域函数值值域三、函数概念自变量因变量对应法则f2.【函数的两要素】定义域与对应法则.【约定】定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.（自然定义域）【注意】两要素是判断两函数是否相同的唯一标准.【定义】如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数．【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。3.【函数图形】4.【几个特殊的函数举例】(1)【常数函数】c为常数

图形是一条平行于轴的直线(2)【绝对值函数】

(3)

【符号函数】1-1xyo或(4)

【取整函数】y=[x][x]表示不超过的最大整数

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo阶梯曲线该函数是数论中一个极为重要的函数有理数点无理数点•1xyo(5)

【狄利克雷函数】(6)

【取最值函数】yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(7)【分段函数】四、函数的特性1.【函数的有界性】(1)【定义】则称函数f(x)在X上有界.否则称无界.M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界无界【结论】f(x)在X上无界2．【函数的单调性】xyo则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.xyo则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.3．【函数的奇偶性】偶函数yxox-x图象关于y轴对称称f(x)为偶函数奇函数yxox-x图象关于原点对称称f(x)为奇函数【说明】若f(x)在x=0有定义,f(x)为奇函数时,必有f(0)=0则当【例如】偶函数双曲余弦记又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记4．【函数的周期性】（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.且则称

f(x)为周期函数

,若称

l

为周期【定义】周期为周期为【注】

周期函数不一定存在最小正周期.【例如】

常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数五、复合函数1【定义】【说明】通常f称为外层函数，g称为内层函数.则设有函数链称为由①,

②确定的复合函数,①②u称为中间变量.2【注意】2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.三重复合函数1）构成复合函数的条件不可少.（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D)一定包含在外层函数的定义域D1内）六、基本初等函数1.【幂函数】幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数2.【指数函数】3.【对数函数】4.【三角函数】正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5.【反三角函数】【定义1】

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.七、初等函数1.【初等函数】【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.2.【非初等函数举例】①［符号函数］②［取整函数］当有理数点无理数点•1xyo③［狄里克雷函数］1-1xyo④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.八、经济学中的常用函数

如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作则f称为需求函数.1、需求函数常见的需求函数：(其中a,b,c,A>0)幂函数：例1设某商品的需求函数为解它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；它表示价格为无人愿意购买此商品.2、供给函数

如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作则G称为供给函数.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：幂函数：指数函数：

在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S

，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.E供需平衡点供需平衡价格3、生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素.为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况.例2规模报酬不变；如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增.4、成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用解由题意，求产量为100时的总成本5、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，R表示总收益,表示平均收益，则如果产品价格P

保持不变，则解平均收益为六、利润函数

利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即解7、库存函数

设某企业在计划期T

内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为，进货周期为.假定每件物品的贮存单位时间费用为，每次进货费用为，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，在时间