ch3-3二阶系统的时域响应

2023/2/63-3二阶系统的时域响应一、二阶系统数学模型（√）二、二阶系统的单位阶跃响应（√）三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析（√）四、过阻尼二阶系统的动态过程分析（√）五、二阶系统的单位斜坡响应（自学）六、二阶系统性能的改善（√）七、非零初始条件下二阶系统的响应过程（自学)实例1：实验二二阶系统的时域响应

R(s)C(s)一、二阶系统的数学模型R(s)C(s),

实例1：实验二二阶系统的时域响应2023/2/6实例2位置控制系统原理图(P71)>SM发送减速器K12023/2/6>SM发送减速器二阶系统的标准数学模型：开环传函：闭环传函：（1）传递函数2023/2/6R(s)C(s)二阶系统的标准形式结构图：2023/2/6二、二阶系统的单位阶跃响应系统的特征方程为：特征方程式的特征根为：可见：这些根与阻尼比有关√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ωnS1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二阶系统根的分布

2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξ2023/2/61、实部为负的一对共轭复根称阻尼振荡角频率平移性质平移性质2023/2/61．欠阻尼（）的情况

(续)

特征方程的根为：系统输出响应为：j0特征：衰减震荡曲线衰减系数2023/2/6

图3-10以参变量的二阶系统单位阶跃响应2023/2/62、无阻尼（=0）的情况

C(t)特征方程式的根为：系统的输出响应为：特征：等幅震荡曲线2023/2/63．临界阻尼（=1）的情况C(t)系统的特征方程式的根为：特征：稳态值为1的单调上升曲线4、过阻尼（）

系统的特征根为：过阻尼系统分析:衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；衰减项前的系数一个大，一个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。与一阶系统阶跃响应的比较tc(t)0二阶过阻尼系统一阶系统响应1j0j0j0j0s1s2ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0二阶系统单位

阶跃响应定性分析Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2过阻尼临界阻尼欠阻尼无阻尼2023/2/6三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%动态性能指标定义2(图3-1)h(t)t调节时间tsβ欠阻尼二阶系统动态性能分析(图3-11)j0欠阻尼二阶系统动态性能计算(P77)由σ%=h(∞)h(tp)－h(∞)100%令h(t)一阶导为0，取其解中的最小值或弧度令h(t)=1取其解中的最小值，2023/2/6h(t)ts的计算(P82)由包络线求调节时间ts0.050.10.20.30.40.50.60.70.82.9973.0013.0163.0433.0833.1403.2193.3323.5060.050.10.20.30.40.50.60.70.83.9133.9173.9323.9593.9994.0564.1354.2694.4232023/2/6（1）上升时间tr

的计算

瞬态过程中第一次达到稳态值的时间。当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长；当一定时，n越大，则tr越短，系统响应速度与一定成正比。2023/2/6（2）峰值时间的计算

将对求导，并令其导数为零，得

瞬态过程中第一次出现峰值的时间。2023/2/6（3）超调量的计算

最大超调量发生在第一个周期中时刻。

从上式知，二阶系统的最大超调量与值有密切的关系，阻尼比越小，超调量越大。（4）调节时间ts

的计算调节时间近似与成反比关系。2023/2/6在设计系统时，一般系统的性能：注：超调量及调节时间两项指标是在阶跃输入作用下计算的。再说欠阻尼二阶系统动态性能(补充)或弧度2023/2/6举例设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量Mp，并分析比较之。2023/2/6输入：单位阶跃系统的闭环传递函数：2023/2/6当KA

＝200时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：2023/2/6当KA

＝1500时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：2023/2/6当KA

＝13.5时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：无2023/2/6系统在单位阶跃作用下的响应曲线2023/2/6六、二阶系统的性能改善1.误差信号的比例－微分控制2023/2/6系统开环传函为：闭环传函为：等效阻尼比：2023/2/6

可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。2023/2/6前面图的相应的等效结构由此知道：2023/2/6和及的大致形状如下一方面，增加项，增大了等效阻尼比，使曲线比较平稳。另一方面，它又使加上了它的微分信号，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比的平稳作用。2023/2/6总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。2023/2/62.输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。2023/2/6闭环传函为：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。2023/2/63.比例－微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。增大阻尼比的两种方法(P83-87)2023/2/6例3-1

有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中K

=4。求该系统的（1）自然振荡角频率；（2）系统的阻尼比；（3）超调量和调节时间；（4）如果要求，应怎样改变系统参数K

值。2023/2/6解：系统的闭环传递函数为

写成标准形式：

得自然振荡角频率：阻尼比：由得超调量：调节时间：

2023/2/6

当要求时,

可见：

必须降低开环放大系数值，才能满足二阶工程最佳参数的要求。但应注意到，降低开环放大系数将使系统稳态误差增大。

2023/2/6例3-2为了改善系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量的要求，今加入微分负反馈，如图所示，求微分时间常数。2023/2/6解：开环传递函数为闭环传递函数为

2023/2/6为了使，

由可求得并由此求得开环放大系数为2023/2/6结论：（1）微分控制可增大系统阻尼比，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间；（2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；（3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。2023/2/6四、二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，2023/2/6四、过阻尼二阶系统性能指标(见P79)j0过阻尼二阶系统动态性能分析(补充)无零点的过阻尼二阶系统阶跃响应无振荡无超调ξ不变时,ωn越大，调节时间ts越小j-a-b0ωn不变时,ξ越大，调节时间ts越大j0-a-b0.707012023/2/6Example3-3:electronicsystemR(s)C(s)2023/2/6T=RCK=Rx/R1取R=100K,C=1uf,则T=RC=0.1,Rx=50K,R1=100Kξ=0.25Mp(理论)=tS(理论)=tp(理论)=

Rx=100K,R1=100Kξ=0.5Mp(理