现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第10、11讲

2023/2/61目前为止，我们已经：建立了系统的状态空间模型提出了基于状态空间模型的系统的运动分析探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性“认识了世界”⇒如何来“改变世界”？！设计控制系统！系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制第6章状态反馈和状态观测器第6章状态反馈和状态观测器控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定。基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态特性。经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈2023/2/64第6章状态反馈和状态观测器状态反馈及极点配置系统的镇定问题状态观测器带有观测器的状态反馈系统2023/2/65第一节状态反馈及极点配置状态反馈与输出反馈状态反馈极点配置条件和算法状态反馈闭环系统的能控性和能观测性2023/2/66将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、状态反馈反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种）原受控系统：线性反馈规律：2023/2/67状态反馈闭环系统：反馈增益矩阵：状态反馈闭环传递函数矩阵为：

一般D=0，可化简为：状态反馈闭环系统表示：状态反馈系统的特征方程为：2023/2/68原受控系统：二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈）将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：2023/2/69输出反馈增益矩阵：闭环传递函数矩阵为：结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性。结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。

在不增加补偿器的条件下，输出反馈改变系统性能的效果不如状态反馈好，不能任意配置系统的全部特征值；

输出反馈在技术实现上很方便；而状态反馈所用的系统状态可能不能直接测量得到（需要状态观测器重构状态）。优点缺点与状态反馈相比较，输出反馈：

（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之则不然。）2023/2/611原受控系统：三、输出到状态微分的反馈将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。输出反馈系统状态空间描述为：2023/2/612极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。四、状态反馈极点配置条件和算法1、极点配置算法(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤3）定理：(极点配置定理)对线性定常系统进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：状态完全能控。注意：矩阵的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。2023/2/613(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)由确定反馈矩阵K：[解]：（1）先判断该系统的能控性[例1]考虑线性定常系统其中：试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。2023/2/614该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。（2）计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：（3）计算期望的特征多项式2023/2/615由得（4）确定K阵求得：所以状态反馈矩阵K为：[例2]对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响[解]：（1）先判断该系统的能控性由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。(2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：2023/2/616从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。求将相当繁琐，所以引入能控标准型法。2）能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3）1、首先将原系统化为能控标准型2、求出在能控标准型的状态下的状态反馈矩阵3、求出在原系统的状态下的状态反馈矩阵2023/2/617证明：原系统：能控标准型：其中：式（1）和式（2）比较，得：2023/2/618能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：[能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及]2023/2/619能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：由，可以确定能控标准型下的反馈矩阵为：2023/2/620(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(2)确定将原系统化为能控标准型的变换阵若给定状态方程已是能控标准型，那么，无需转换能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤：系统不变量：2023/2/621(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：(4)直接写出在能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：还可以由期望闭环传递函数得到：能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量和调整时间等）2023/2/622[例]用能控标准型法，重新求解前面例1：（2）计算原系统的特征多项式：[解]：（1）可知，系统已经是能控标准型了，故系统能控，此时变换阵（3）计算期望的特征多项式（4）确定K阵所以状态反馈矩阵K为：能控标准型下的状态反馈矩阵为：2023/2/6233）爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n>3）为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中是A满足其自身的特征方程，为：推导过程：略此方法也非常适合于计算机matlab求解2023/2/624[例]用爱克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）确定系统期望的特征多项式系数：所以：（2）确定2023/2/625（3）所以状态反馈矩阵K为：2023/2/626[例]已知线性定常连续系统的状态空间表达式为设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2，并画出闭环系统的结构图。解：先判断系统的能控性。系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。令2023/2/627则状态反馈闭环系统的特征多项式为期望的特征多项式为由，求得

状态反馈闭环系统的结构图如下：2023/2/628期望极点选取的原则：1）n维控制系统有n个期望极点；2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。2、闭环系统期望极点的选取2023/2/629五、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性定理：如果SISO线性定常系统是能控的，则状态反馈所构成的闭环系统也是能控的。证明:2023/2/630结论：对SISO系统，引入状态反馈后，不改变系统原有的闭环零点。所以经过极点的任意配置，可能会出现零极点相约，由于可控性不变，故可能破坏可观测性。能控标准型，受控系统传递函数：状态反馈后，闭环系统传递函数：2023/2/631[本节小结]：1、状态反馈系统的结构:状态反馈闭环系统：状态反馈闭环传递函数矩阵为：状态反馈系统的特征方程为：2、输出反馈:闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：2023/2/6323、输出到状态微分的反馈：闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：4、状态反馈极点配置条件和算法：极点任意配置条件：系统状态完全能控。极点配置算法：反馈阵k的求法2023/2/633(4)由确定反馈矩阵K：(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征多项式。1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤3时）(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。2023/2/634(4)写出能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：2）能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3时）(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(3)写出期望的特征多项式：(2)确定将原系统化为能控标准型的变换阵2023/2/6355、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性可以保持原系统的能控性，但可能破坏原系统的能观测性。3）爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n>3）其中是A满足其自身的特征方程，为：为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：2）和3）方法非常适合于计算机matlab求解2023/2/636第二节系统的镇定问题系统镇定的概念状态反馈与系统的镇定2023/2/637一、系统镇定的概念镇定：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。可以采用状态反馈实现镇定，则称系统是状态反馈能镇定的。定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态反馈能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理证明：二、状态反馈与系统的镇定原系统：2023/2/638将原系统按照能控性分解，得到系统对系统引入状态反馈后，系统矩阵变为闭环系统特征多项式为：能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定要求渐近稳定2023/2/639结论1：如果线性定常系统是状态完全能控的，则不管其特征值是否都具有负实部，一定是状态反馈能镇定的。（一定存在状态反馈阵K，使闭环系统的极点得到任意配置）

不稳定但状态完全能控的系统，可以通过状态反馈使它镇定结论2：可控系统是一定可镇定的，可镇定系统不一定是可控的2023/2/640[例]系统的状态方程为（2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因此该系统是状态反馈能镇定的。[解]：（1）系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面，因此系统不是渐近稳定的。（1）该系统是否是渐近稳定的？（2）该系统是否是状态反馈能镇定的？（3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为2023/2/641（3）不能控部分的极点为－5，与其中一个期望极点相同。此时，只能对能控部分进行极点配置。设，对能控部分进行极点配置。期望的特征多项式为：2023/2/642由得：解得：所以反馈阵为：2023/2/643[例]系统的状态方程和输出方程如下[解]：（1）系统特征方程为：（1）讨论系统的稳定性。（2）加状态反馈可否使系统渐近稳定？特征值为，系统不是渐近稳定的。（2）系统能控，加入状态反馈可以任意配置极点。设反馈阵为，加状态反馈后的系统矩阵为2023/2/644系统的特征多项式为：通过k1和k2的调整可使系统的特征值都位于左半S平面，使系统渐近稳定。45第三节全维状态观测器设计渐近状态观测器问题具有实际应用价值的是下图所示状态观测器。它和开环状态观测器的差别在于增加了反馈校正通道。被控系统的输出与观测器的输出进行比较，其差值作为校正信号。

46令其解为可知，当选取，使得所有特征值具有负实部则有：若观测器和系统的初始状态相同，观测器的状态与系统实际状态完全相同；若观测器初始状态与系统初始状态不相等，观测器状态以指数收敛到系统的实际状态，即。因此，这种观测器称为渐近状态观测器。476.3.1全维状态观测器设计定理：线性（连续或者离散）定常系统存在状态观测器，并且能够任意配置极点的充分必要条件是系统完全能观测。此定理也适用于MIMO系统。设计状态观测器的一般步骤为:③根据状态观测器的期望极点，求④由确定②求①判别系统能观性；486.3.1全维状态观测器设计

例：设计状态观测器，使其特征值为解：判断系统的能观性所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。能观性判别矩阵满秩49设则系统特征方程如下：状态观测器的期望特征方程为50令则解得即51小结状态反馈就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，反馈到输入端,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。输出反馈是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。线性（连续或者离散）定常系统存在状态观测器，并且能够任意配置极点的充分必要条件是系统完全能观测。多变量线性系统在任何形如的状态反馈下，状态反馈闭环系统完全能控的充要条件是被控对象完全能控。极点配置定理线性（连续或离散）多变量系统能任意配置极点的充分必要条件是,该系统状态完全能控。2023/2/652第四节带有观测器的状态反馈系统带有观测器的状态反馈系统的构成带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性2023/2/653状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件构成：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成。用观测器的估计状态实现反馈。

是x重构状态，阶数小于等于x阶数。系统阶数为与x阶数和一、带有观测器的状态反馈系统的构成全维状态观测器加入状态反馈2023/2/654带有全维状态观测器的状态反馈系统等价结构图：2023/2/655加入反馈控制规律：状态反馈部分的状态方程：观测器部分的状态方程：原系统状态空间描述为：带有观测器的状