随机过程(31)第3章第1节西电宋月

第三章跳跃随机过程本章主要内容泊松过程的定义及基本性质泊松过程的0-1律复合泊松过程过程泊松过程扩展实例1.电话交换台的呼叫次数2.放射性裂变的质点数3.发生故障而不能工作的机器数4.通过交通路口的车辆数5.来到某服务窗口的顾客数………..以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点若用N(t)表示[0,t]内到达的随机点数，显然这种随机过程称为计数过程即实随机过程{N(t),t≥0}是计数过程，如果N(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事件数．特点①②N(t)是非负整数③④表示时间间隔t-s内发生的随机事件数．计数过程的另一种表示计数过程的轨道性质(a)零初值性，状态空间是0及自然数(b)样本轨道是单调不减，右连续(c)轨道间断点跳跃的高度永远是1相互独立的随机变量序列

N(t)表示[0，t]时间内到达的随机点数,

则N(t)

(Nt)是一个随机变量．分析这些随机过程的公同特点一.Poisson过程定义若计数过程{N(t),t≥0}

满足是平稳的独立增量过程服从参数是λt

的Poisson分布,即则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ

的Poisson过程.定理设{N(t),t≥0}

是参数为λ

的Poisson

过程，则证明1)由定义,显然有又对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则有是独立增量平稳性由定义计数过程的到达时间与到达时间间隔分布设{Nc(t),t≥0}是计数过程，即Nc(t)表示时间区间[0,t)内到达的随机点数.到达时间(序列)表示第i个随机点的到达时刻,则称为计数过程的到达时间序列.到达时间间隔(序列)它表示第n-1个随机点与第n个随机点的到达时间间隔,则称为Poisson过程的到达时间间隔(序列)显然有给出上述定义以后，我们自然需要回答下列问题(1):计数过程与泊松过程的关系，(2):关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布引理(到达时间序列分布)设{Nc(t),t≥0}是计数过程,其到达时间间隔相互独立且同服从参数为λ的指数分布，则到达时间分布服从Γ分布,密度为证明的分布函数的特征函数为则的特征函数为的密度函数为故定理4.1.1

如果计数过程Nc(t)的到达时间间隔是独立同分布于参数为的指数分布，则计数过程Nc(t)一定是一个参数为的泊松过程.分析：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二第三条满足即可.证明：由引例知故其概率密度函数为于是其中以上证明了Nc(t)服从参数为λ的泊松分布，下证平稳的独立增量性.即对于任意的0≤s<t,增量

Nc(t)-Nc(s)与Nc(u)(u≤s)独立且

Nc(t)-Nc(s)～π(λ(t-s))

注意到定义则是一个从s开始的计数过程因此在的条件下，的到达时间间隔独立同分布于参数为λ的指数分布，于是独立性得证，进而平稳性得证.定理

(到达时间间隔分布)设{N(t),t≥0}

是参数为λ

的Poisson过程，是其到达时间间隔序列，则是相互独立同服从参数为λ的指数分布．证明独立性由于poisson过程是平稳的独立增量过程所以相互独立.下证同分布到达时间间隔的独立性平稳性

的独立性平稳性得证独立性也可以证明如下以下证明相互独立因此二维随机变量（T1，T2）的联合密度函数为由于的概率比密度函数为于是的概率比密度函数为定理(到达时间序列分布)设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间服从Γ分布,密度为证明的分布函数第n个随机点的到达时刻再求导数所以到达时间序列的密度函数为本题目还可以用特征函数证明.例1：假定某天文台观察到的流星流是一泊松过程，据以往的资料统计为每小时平均观察到3颗流星.试求(1)在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率；(2)下午(下午12点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.例2：设某电话总机在t分钟接到的电话呼叫数N(t)是具有速率为λ的泊松过程，试求(1)3分钟接到5次呼叫的概率；(2)已知3分钟内接受到5次呼叫，且第5次呼叫在第3分钟内到来的概率.例3.同一概率空间下的独立泊松过程的叠加也是泊松过程分析：要证明随机过程是泊松过程，只能用定义证明，零初值性和独立增量性比较容易，只需要证明平稳增量性即可.例4

某学生要去A教室上数学课，现有两个入口B和C可以进入A教室，设在时刻t>0,从B口进入A教室的学生数为NB(t),从C口进入A教室的学生数为NC(t)，假设NB(t)和NC(t)是两个分别服从参数为和的独立的泊松过程。试讨论下面三个实际问题：问题1在一个固定的3分钟内没有学生进入A教室的概率有多大？问题2学生到达A教室的时间间隔的均值是多大？问题3已知一个学生进入了A教室，那么他（她）是从C口进入的概率有多大？例5：有红绿蓝三种颜色的汽车，分别以强度为λR,λG,λB,的泊松流到达某个路口，设它们相互独立.把汽车合并成单个输出过程（假设汽车没有长度，没有延时）.(1)求两辆绿色汽车到达的时间间隔的概率密度函数.(2)求两辆汽车之间的时间间隔的概率密度函数.(3)求在t0观察到一辆红色汽车，下一辆将是红色、蓝色、非红的概率.(4)求在t0观察到一辆红色汽车，下三辆汽车是红色，然后又是一辆非红色汽车将到达的概率.解(1)两辆红色汽车到达的时间间隔TG的概率密度函数为(2)由于独立的泊松过程之和仍是泊松过程，且其强度为λC=λR+λG+λB,设TC为两辆汽车到达的时间间