抛物线线及抛物线的性质

抛物线的定义及性质一、抛物线的定义及标准方程抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。标准方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)图形Ly二\L十OxOxO x隹点八、、八、、〔p,0)(-p,0)〔0,9〔0,-p)准线x—P2x=py=-py=p对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1例1、指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1)x=ay2(a。0) (2)y2=2x—1【练习1】1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(-2,-4)的抛物线方程。

2、若动圆与圆3-2）2+产=1外切，又与直线x+1=0相切，求动圆圆心的轨迹方程。3、设抛物线过定点A（2、若动圆与圆3-2）2+产=1外切，又与直线x+1=0相切，求动圆圆心的轨迹方程。3、设抛物线过定点A（2,0），且以直线x=-2为准线。求抛物线顶点的轨迹C的方程;二、抛物线的性质例2、若抛物线J2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）A.（4,土苧）B.（!±年）C.（4【练习2】1、抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（5 匚 15A.— B.5C.—2 2D.102、若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（A.（7,±。富） B.（14,±寸富） C.（7,±2、.''间 D.（-7,±2侦14））。3、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是A、y2=16xB、y2=12xC、y2=-16xD、y2=-12x4、设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA±Z,A为垂足.如果直线AF的斜率为-拓,那么IPFI=（ ）（A）4V§ （B）8 （C）8x/3 （D）16三、抛物线中的最值问题例3、若点A的坐标为(3,2),F是抛物线J2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小M的坐标为()A.(0,0) B.f1,1) C.(，槌)D.(2,2)"2)【练习3】1、设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|ab的最小值为( )pA.亏 B.p C.2p D.无法确定2、 若点A的坐标为(2,3),F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MF\+|MA|取得最小距离为 3、 在抛物线y=4x2上求一点p，使这点到直线y=4x-5的距离最短，则点P坐标为。4、 已知A(0,-4),B(3,2)，抛物线y2=8x上的点到直线AB的最段距离5、已知抛物线y2=2Px(P>0)，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点M到A、F的距离之和的最小值为板10，求抛物线方程.四、抛物线的应用例4、抛物线y—2X2上两点A(x,y)、B(x,y)关于直线y—x+m对称，且x-x11 2 2 1则m等于(3则m等于(3A.-2【练习4】B.25C.—2D.3则点P到该抛物线焦点的距离是(1、设抛物线y2=8尤上一点P到y则点P到该抛物线焦点的距离是(TOC\o"1-5"\h\zA.4 B.6 C.8 D.12- ~9〜2、 设抛物线y2—2x的焦点为F，以PG-,0)为圆心，PF长为半径作一圆，与抛物线在X轴上方交于\o"CurrentDocument"M,N，则IMFI+INFI的值为( )\o"CurrentDocument"(A)8 (B)18 (C)2^2 (D)43、 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y—2x+1截得的弦长为\.15，求抛物线的方程。四、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A（x1，y1）B（x2，y2）;第三步：联立方程组jy-*：+b，消去y得关于x的一元二次方程；〔f（x,y）=0第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件[二次系数不为零，[%+x2—[△>0 [x-x=TOC\o"1-5"\h\z第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2、x1x2，然后代入、化简。 1 23.弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB的中点为M（xo，yo），先设两个交点为A（x1，y1），B（x2,y2）;分别代入圆锥曲线的方程，得f（x,y）=0,f（x,y）=0，两式相减、分解因式，再将1 1 2 2x+x=2x,y+y=2y代入其中，即可求出直线的斜率。1 2o1 2o4.弦长公式：|AB|=t'1+k2|x一x|=。（1+k2）[（x+x）2-4xx]（k为弦AB所在直线的斜率）1 2 1 2 12例题分析X2y21、（2008海南、宁夏文）双曲线拓—=1的焦距为（ ）A,3（2 B.4\；2 C.3拓D.4,，3X2 一（2004全国卷I文、理）椭圆彳+y2=1的两个焦点为与、F2，过鸟作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=（ ）、；'3 危 7A.k B.*3C.二 D.4\o"CurrentDocument"2 2（2006辽宁文）方程2X2-5X+2=0的两个根可分别作为（ ）A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率（2006四川文、理）直线y=x—3与抛物线y2=4X交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（ ）（A）48. （B）56 （C）64 （D）72.X2y25.（2007福建理）以双曲线云一白=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）9 16A.产+必一1。工+9=0B.x;+y2-10x+16=0C.：：：+「：+_：：：+】：=：D.：：牛：+"：：+=：6（2004全国卷W理）已知椭圆的中心在原点，离心率e=1，且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）X2 X2 y2 X2 y2A.T+?=1B.=+?=14 3 8 6X2 X2C.成+y2=1d.彳+y2=1x27（2005湖北文、理）双曲线y2一m合，则mn的值为（ ）3 3 16nAx27（2005湖北文、理）双曲线y2一m合，则mn的值为（ ）3 3 16nA.—B.— C.—16 8 3D.83x216y28.（2008重庆文）若双曲线§-卞=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）4f''2TOC\o"1-5"\h\zx2 y2 x2 y29（2002北京文）已知椭圆。 +；=1和双曲线°一；=1有公共的焦点，那么3m25n2 2m23n2A.x=±*A.x=±*B.y=+ x C.x=±y\o"CurrentDocument"2 4D.y=±：xxD.y=±：x10（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程=+b-=1与qx+by2=0（a>b>0）的曲线大致是A B C DA B C D11.12.（2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为211.12.TOC\o"1-5"\h\z标准方程是 _x2y2 3（2008江西文）已知双曲线一一尸=1（a>0,b>0）的两条渐近线方程为y=±=-x,a2b2 3若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为— _.x2 y2（2007上海文）以双曲线丁-』=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的4 5抛物线方程是 .（2008天津理）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称.直线4x—3y-2=0与圆C相交于4B两点，且|AB|=6,则圆C的方程为.15（2010，惠州第二次调研）已知圆C方程为：x2+y2=4.（1） 直线l过点P（1,2），且与圆C交于A、B两点，若|AB1=2\5，求直线l的方程；（2） 过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ=OM+ON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

16（2010,惠州第三次调研）已知点P是。O:x2+产=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足DQ=、1, , ► 、1, , ► ►►使OE=-(OM+ON)(O2 、（2）已知点E（1,1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由。17（2006北京文）椭圆C:云+b-=1（。>b>0）的两个焦点为七马，点P在椭圆C上，且, , ,4 ,14PF1FF,1PFl=—,1PF1=.1 12 1 3 2 3（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心虬交椭圆C于4B两点，且A、B关于点M对称,求直线l的方程..18（2010，珠海市一模）如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上。过点M（0，-2）作直线l与抛物线相交于A、B两点，且满足OA+OB=（-4，-12）.（I） 求直线l和抛物线的方程；（II） 当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求^ABP面积的最大值.19（2010,广东六校第四次联考）已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点《（一1,0）,F（1,0）的距离|Pf|,|PF|的等差中项为侦2.（1） 求曲线C的方程； > ►（2） 直线l过圆X2+*+