运动学点的运动及刚体的简单运动

理论力学TheoreticalMechanicsMonday,February6,2023主讲教师：祝瑛运动学篇综合实验楼508Tel516827242/6/2023运动学引论运动学的研究对象——几何点，称为“动点”；刚体。运动学的研究任务——

研究物体的空间位置随时间变化的几何性质。包括运动方程，点的运动轨迹，速度方程，加速度方程。表征运动几何性质的基本物理量

t、

r、v、a、j、w、a2/6/2023点(point)刚体(rigidbody)运动学模型及运动形式模型点：不计几何形状和尺寸的理想物体，此时转动和变形对运动的影响忽略不计。2/6/2023运动形式A.直线运动(rectilinearmotion)B.曲线运动(curvilinearmotion)点的运动形式2/6/2023刚体的运动形式：A、平移(Translation)其上任一直线永远平行于自己的初始位置刚体上或拓展空间内有一直线始终保持不动，其上各点均绕此直线作圆周运动。B、定轴转动：(Fixed-axisrotation)2/6/2023C、平面运动：（Planarmotion）刚体上各点到某一平面距离相同。D、定点转动：RotationaroundaFixedPoint其上有一点永远保持不动。刚体的复杂运动。F、一般运动：Generalmotion2/6/2023运动的转换关系刚体的运动包含点的运动点的运动是刚体运动的组成部分刚体的复杂运动可以分解为若干个基本运动2/6/2023

物体的运动是相对于不同的观察者而言的。 运动学中对参照系的选取无任何要求，但不同的坐标系下对同一物体运动的数学描述则完全不同。故应选取最易进行数学描述的参照系。参考系和参照体2/6/2023参考系(referencesystem)：用于描述物体运动特征的坐标系（如直角、自然、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等）；参照体(referencebody)：参考系的载体；定参考系(fixedreferencesystem)：参照体通常为地球的参考系，如地面，简称定系；动参考系(movingreferencesystem)：与定参考系有相对运动的参考系，简称动系。参考系和参照体2/6/2023第1章点的运动及刚体的简单运动§1-1点的运动§1-2刚体的平动§1-3刚体绕定轴的转动2/6/2023运动方程zOxy§1-1点的运动用矢径(一动点相对于坐标系原点的位置矢量)r描述动点在参考系中的运动特征；r的末端描绘出的一条连续曲线(矢端曲线)即为动点的运动轨迹。速度(velocity)位移(Displacement)切线方向描述点在某瞬间运动的快慢和方向位矢端线一、矢量法2/6/2023加速度(acceleration)M点的速度矢端图(hodographofvelocities)描述点的速度矢量对时间的变化率即点在该瞬间速度的大小和方向的变化率将点在不同瞬时速度平移至O点，连接速度矢端构成的连续曲线；

描述速度大小和方向变化的图像。2/6/2023

二、直角坐标法1.点的运动方程：点的轨迹方程：zOxyva2/6/20233.点的速度:(定参考系)

点的速度在直角坐标轴上的投影等于点的各对应坐标对时间的一阶导数zOxyva2/6/2023速度合成速度大小方向余弦2/6/2023

4点的加速度：矢量大小方向余弦a在直角坐标轴上的投影等于动点速度投影对时间的一阶导数，等于动点各对应坐标对时间的二阶导数。2/6/2023解：建立图示直角坐标系，由几何关系可得M点的运动方程为：例1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，A、B端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知：OC=CB=CA=l，MC=a，

=t。试求规尺上点M的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。2/6/2023消去参数t可以得到显函数形式的轨迹方程：经求导后可得M点的速度和加速度方程：椭圆合成速度与加速度：P1182/6/2023例2如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度（v为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为v0。求活塞的运动规律。解：1活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图2/6/2023三、自然坐标法★自然法适用于描述非自由质点运动OMs(+)(-)运动方程(沿轨迹的运动规律) 利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然坐标系，描述和分析点的运动特征。弧坐标s（arccoordinate）弧长为代数量2/6/2023密切面与自然轴系M密切面(osculatingplane)t’M’Mt2/6/2023M密切面自然轴系(trihedralaxesofaspacecurve)主法线单位矢量切向单位矢量副法线单位矢量过M点的密切面主法线指向曲线凹侧副法线垂直于切线和主法线构成右手系nttnb法平面与M点的切线垂直2/6/2023以M点为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，三轴称为自然轴。

自然轴系是沿曲线而变动的游动坐标系。2/6/2023M密切面tnb3.速度：M’Dr弧长为Dsvv>0，点沿轨迹的负向运动.v<0，点沿轨迹的正向运动；2/6/2023M密切面nbM’vMvM’t4.加速度：切向加速度at表征速度大小的变化率，位于该时刻自然轴系的切线方向；法向加速度an表征速度方向的变化率，位于该时刻自然轴系的主法线方向。因为ab=0，所以at、

an

、a均在密切面内研究空间为平面atana教材P72/6/2023大小全加速度a为at与an的矢量和vtnanataq方向：一般由a与主法线间夹角表示tanq=atanan：指向轨迹的凹侧——主法线正向at：当tanq>0时，at与t同向；tanq<0时，at与t反向.atqa2/6/2023如果v>0,at>0，点该如何运动?如果v>0,at<0，点该如何运动?如果v<0,at

>0，点该如何运动?如果v<0,at<0，点该如何运动?如果v0,at=0，点该如何运动?vtnanataqatqa讨论2/6/2023下面曲线上哪些点的运动是可能的运动？哪些是不可能的运动？讨论av

=0AvBavCavDavEavFaGav

=02/6/2023推导公式匀速曲线运动匀变速曲线运动2/6/2023特殊运动的特点直线运动圆周运动r=R=常数匀速运动at=常数匀变速运动2/6/2023点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：越跑越快；越跑越慢；加速度越来越大；加速度越来越小。问题2/6/2023例1列车沿半径为800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度达到54km/h。求起点和末点的加速度。起点：法向加速度等于零，列车只有切向加速度解：2/6/2023终点：2/6/2023例2：炮弹射出时，直角坐标下的运动方程为求t=0时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及这时轨迹的曲率半径。2/6/2023解：当t=0时2/6/2023将加速度沿切线和法线方向分解有当t=0时，由得当t=0时2/6/2023例3半径为R的轮子沿直轨道无滑动地滚动，设轮子转角=t（为常值）。求弧坐标法表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的切向加速度、法向加速度及轨迹线的曲率半径。1、先利用直角坐标法求点的运动轨迹、速度、加速度；2、再利用自然法求解本题。2/6/2023解：取=0时点M与直线轨道的接触点O为原点，建立直角坐标系Oxy。由于纯滚动，有：OC=MC=R则M点的运动方程为：上式实际上也是以t为参数的轨迹方程，为旋轮线（摆线）。2/6/2023M点的速度方程为：j

2=cot方向当t=2kp/w时即

j=2kp

轮轨接触点C

vC=0

vM

CM

沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零y+=90j2tan(v

,

x)=vy

vx=tany大小2/6/2023M点的加速度方程为：方向a永指向轮心tan(a

,

x)

=ay

ax=cotwt=tan(90-j)(当wt=2kp时)常量沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的加速度不为零大小2/6/2023？已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动（只滚不滑）。轮心速度u=常数。 求：轮缘一点M的运动方程式、轨迹、速度与加速度。2/6/2023取=0时点M与直线轨道的接触点O为弧坐标系原点，轨迹线为自然轴线。弧坐标法求点M的运动方程：积分速度方程2/6