微积分在生活的应用

微积分在生活中的应用摘要：微积分作为一种重要的数学工具，在解决实际问题时并不是一开始就得心应手的，在开始应用微积分解决间题时，常常会感到困惑,主要表现在：积分元的选取，积分限的确定及模型的建立等等.比如，利用微积分来确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等，这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析，并找出其中的规律，从而做出决策.本文将结合它在几何、物理与经济等方面的应用，利用理论知识付诸于实践中,有利于于人们更好的学习了解微积分的应用.关键词：微积分物理经济应用摘要字数偏多，再去掉两三行。摘要是反映你文章中的内容，前面两句介绍微积分，后面直接说文章通过哪些内容反映你的主题通过微积分可以描述运动的事物，描述一种变化的过程，可以说，微积分的创立极大地推动了生活的进步.由于微积分是研究变化规律的方法，因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法.随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍会进一步丰富和发展人们的生活，进一步将微积分的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献.无论是在生活中还是学习中，微积分都能实现其最大化、最优化的作用.在学习数学中，利用微积分能很好的计算平面上那些不规则图形的面积、曲线的孤长、三维空间中旋转曲面的表面积、旋转体的体积及在我们生活中“切菜”的物体的体积等；在物理上，利用微积分可以研究物体做匀速直线运动的位移问题、研究匀速圆周向心加速度的方向问题及研究物体的变力做功等；在经济中，利用微积分能分析边际分析在经济中的应用、弹性在经济中的应用及学会用微积分解决实际中的最优问题与投资决策等.可见，微积分存在于生活中的方方面面，是解决实际问题最方便的工具.如果没有微积分的出现，生活中遇到的问题就不能转化为数学语言来进行研究，生活中存在的大量的实际问题就不能够解决，因此，要想解决这些问题我们就必须学好微积分的有关知识，好好利用微积分这个工具.本文将通过具体的实例分析微积分在数学、物理及经济中的具体的应用，进一步加强人们对于微积分的理解及其在实际的广泛的应用.引言部分写的还可以，暂时不用动，最后在修改细节。第一章微积分的概述1.1微积分的发展史微元法微积分的概念可以追溯到古代，到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源,牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的.直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的发展开来.欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命.微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩.随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科.通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题.微积分的发展历史表明了人的认识已经达到了抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程.人类对客观世界的规律性的认识具有相对性,受到时代的局限，随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不会有终点.1.2微积分的基本内容微积分的产生的三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系，最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的.从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分.微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学.微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等.积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等.总的来说微积分可以看作是一种无限分割的思想，即将复杂的问题拆解成很小的组成部分，通过研究小的内容来对整体进行估计的一种思想.第二章微积分在几何学中的应用微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决数学中的一些问题.通过求曲边梯形的面积等实例，从问题情境中了解微积分的实际背景；借助几何直观体会微积分的基本思想，（1）为今后进一步学好微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值.微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，更全面地探索和研究更多的用法，既提供了一种新的方法，又提供了一种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下基础,能够好好的利用它的应用.2.1微分在几何学中的应用在实际生活的求最值的某些实际应用问题中，根据问题的实际意义，能够判定它必能取得最小或最大值，而从实际问题抽象出来的数学含义为可导函数在区间内又只有一个稳定点，这时就可判断，实际问题中函数在此稳定点取得最小或最大值.下面我们从二个例子来说明.2.1.1问题中的最大值电灯A可在桌面点。的垂直线上移动，在桌面上有一点B据点O的距离为a,问电灯A与点O的距离多远,可使点B处有最大的照度?解：设AO=尤,AB=r,ZOBA=们由光学知，点B处的照度J与sin中成正比，与r与r2成反比，即j=c竺也，其中r2c是与灯光强度有关的常数。•一 X : -.一F曰sin9=—,r=7x2+a2于是，rJ(x)=c—=c ,0<x<+8.r3 3(x2+a2)2a2-2x2J'(x)=c 5(x2+a2)2令J'(x)=0,解得稳定点-当与M,其中稳定点二不在(0,+8)中，比较

<2 .侦2 v2三数J(M)=-^^，J(0)=0,J(x)=0,(xT+8)，知J(当)就是函数在［0,+8)*2 3<：3a2 v2的最大值，即当电灯A与点O的距离为当时，点A处有最大的照度，最大的照度\.：2是J(M)=工.指3必a22.1.2 问题中的最小值一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 ，已知当速度为10(km/h)，燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元，问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？解：设船速为x(km/h),具题意每航行1km的耗费为y=—(kx3+96),由已知当xx=10时，k-103=6故得比例系数k=0.006,所以有y=—(0.006x3+96),xe(0,+8)，x令y=四U(x3-8000)=0,求得稳定点x=20.由极值第一充分条件检验得x2x=20是极小值点,由于在(0,+3)上函数处处可导，且只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点.所以求得当船速为20km/h时,每航行1km的耗费为最少,其值为y=0.006x202+96=7.2(元).min 202.2积分在几何学中的应用2.2.1在平面问题上的应用2.2.1.1平面图形的面积的计算求三叶玫瑰线r=acos39围成的区域的面积图2.1r=acos39此处图形要加坐标系解：三叶玫瑰线围成的三个叶全等，只需计算第一象限那部分的面积面积的6倍.三叶玫瑰线r=acos。，在第一象限中，角的变化范围是由0到-,于是,三叶玫6瑰线围成的区域的面积是A=gj6a2C0S2(30)d0=a2』：cos2(30)d(30)20 0「 a2何，=a2J2cos2中d中=—J2(1+cos2^)d^sin2平)sin2平)|2=2.2.1.2平面曲线的弥长的计算求星形线a=acos3甲,y=asin3甲,a>0,0V甲<2兀的全长解：图（1）图（1）星形线星形线关于两个坐标轴都对称，于是，星形线的全长是它在第一象限的那部分孤长的4倍.x'=-3acos2里sin中y=3asin2里cos中则星形线的全长s=4^2\x'2+v2d甲=12a』2\'x'2+y2d甲

0 0五 Z.12aJ21sin中cos中Idp=12aJ2sinpcos^dp00九・=3aJ2sin2pd(2p)=6a02.2.2在三维空间中的应用2.2.2.1旋转曲面的面积的计算求椭圆生+竺=1(0<b<a)绕y轴旋转所成旋转椭球体的表面积.X2 J2

解:x=—\b2-y2,x'=-——a

/ y b\,b2-y2解:V J于是，旋转椭球体的表面积1+x'2dy=1+x'2dy=4兀f^.;x2+(xx')2dy°y o y-b4兀a3=J\b4+(a2-b2)y2dyb2o，:b4,°,'——+82y2dya24k—2r,b4=—J\：—+82y2d(8y)b2o\a2TOC\o"1-5"\h\z2k—2 b4 b4… b4 lb= (8y'——+82y2+一ln18y+」一+82y2l)lbb28 a2 a2 Va2 o2k— :b4 b4 'b4 b4b2——(8b.—+82b2+一Inl8b+'—+82b2|-一ln—)b28 Va2 a2 \a2 a2 a2Kb2a=2k—2+ ln[—(1+8)]8b其中,8= —是椭圆的离心率.a2.2.2.2旋转体的体积的计算切黄瓜圈时，将洗净的黄瓜放到水平放置的菜板上，菜刀则垂直于菜板的方向切去黄瓜两端,也就是所求体积的立体空间，接下来试想如何将计算出这个不规则黄瓜的体积？我们可以，也就是将间隔较小距离且垂直于菜板方向切下一个黄瓜薄片，将其视为一个支柱体,这个体积也就是等于截面的面积乘以厚度.举一反三,如果将这根黄瓜切成若干薄片,计算每个薄片的面积并相加就可得到黄瓜的近似体积，且黄瓜片约薄，体积值就约精确.那么如何才能提高这个数值的精确度呢？也就是将其无限细分，再获得无限和,也就是黄瓜的体积.切菜应用就是平行截面面积为已知的几何体体积问题，举一个例子，最好是生活化的例题第三章在物理学上的应用微积分不仅在数学中有重要的应用而且在物理中也有十分广泛的应用，应用微积分法去解决实际问题是非常广泛的，把“数学微元”的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题.在实际过程中，微积分思想把复杂物理问题进行有限次分割，在有限小范围内进行近似处理，而近似处理就是要抓住问题的主要方面，从而使问题变得简单.实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果.在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算,其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算,微分微的越细，越精确,但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理.3.1微分在物理中的应用在实际分析物理问题的过程中，利用微分解释物理量变化率及实际有关函数极值的问题时，可加深对物理意义的理解，提高生活中问题的准确性.3.1.1研究匀变速直线运动的问题甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度v甲=20m/s，加速度a甲=2m/s2做减速运动，乙以初速度v乙=4m/s，加速度a=2m/s2,做加速运动，求两车再次相遇前的最大距离⑹.乙分析与解：，时刻两车的距离为：s=s-s=(vt-—a12)-(vt+La12)=16t-2t2甲乙甲2甲 乙2乙对s(t)求导数得：s'=16-4t令：s'=16-4t=0(一阶导数等于0函数有极值)

解得：t=4s将t=4s代入原式得：s=16t-2t2=32m艮即t=4s时两车再次相遇前的最大距离,其值为32m.3.1.2利用隐函数求导实际问题中物体的速度、加速度湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离水面高为H的滑轮拉船靠岸,设绳的原长为％,以匀速率V0拉绳,求在任意位置X处,小船的速度和加速度⑺.小船可作为质点并作一维运动,选取坐标系,在任一位置处，绳长l，位置坐标x及高度H（常数）之间有如下关系：TOC\o"1-5"\h\z12=X2+H2 （1）将（1）式两边同时对t求导，有ld=X竺 （2）dtdt注意到d=-V（绳长l减小），dX=V，则有dt0 dtl C7H、cV=-—V=-\|1+（一）2V将（2）式两边再对t求导有（dl）2+^d（dl）（dx）2+d2xdtdtdtdtdt2注意到a注意到a=竺dt2d为常数'则上式为V2=[1+(H)2]V2+X性Xo dt2— v2.V和a表达式中的负号表示v.a的方向沿x轴负向，且随着小船向岸边的运动,速度和加速度的值越来越大.3.2积分在物理中的应用3.2.1研究变力做功问题设物体在变力作用下，沿X轴由a点处移动到b处，求变力所做的功？由于力F(x)是变力，所求功是区间［a,b］上均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决,利用微元法，由于变力F(x)是连续变化的，故可以设想在微小区间［尤,x+dx］上作用力保持不变(“常代变”求微元的思想)，按常力做功公式得这一段上变力F(x)做功的近似值.把变力F(x)近似为恒力，大小方向都不变；把曲线轨迹近似为直线轨迹，即看成直线运动，其位移记为dx,把每段内的功近似恒力作用下做直线运动的功计算，则dW=F(x)dx近似处理后,再把沿整个路径的所有运动小段内力所做的元功加起来，就得到整个过程中力对质点所做的功.由于dx表示位移趋于零，对元功积分，使得变力F(x)从a到b所做的功为W=jbF(x)dxa在实际应用中，许多问题都可以转化为物体受变力作用沿直线所做的功的情形,下面通过具体例子来说明.例：把一个带+q电量的点电荷放在r轴上的坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为F=kq.r2试计算：当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到r=b处时,电场力F对它所做的功[8].解：注意到将单位正电荷在r轴上从点a移动到点b的过程中，电场对该单位正电荷的作用力是变化的，问题可归结为变力沿直线做功的情形处理.取r为积分变量，其变化区间为】a,b]，任取微元】r,r+dr],当单位正电荷从[移动到r+dr时，电场力对它所做的功近似等于kqdr,r2即功微元为dW=qdrr2从而所求功为W=\b性dr=kq[-1]|b=kq（1-1）ar2 raab在计算电场中某点的电位时，要考虑将单位正电荷从该点（r=a）移动到无穷远处时电场力所做的功W，此时有W=j+8kqdr=kq[-1]l+8=性.ar2 raa3.2.2研究液体的压力我们学习物理学知道在液体下深度为h处的压强为P=pgh（其中p是液体的密度，g重力加速度）.如果有一面积为S的薄板水平地置于深度为h处,那么薄板乙侧所受的液体压力计算F=PS，但是在实际问题中，常常碰到计算薄板竖直地放置在液体中时，其一侧所受到的压力如何如何？由于压强P是随液体的深度变化而变化，所以薄板一侧所受到的液体压力就不能简单地应用公式F=PS=pghS来计算，可以考虑用定积分的“微元法”去求解.修建一道形状是等腰梯形的闸门，它的两条底边各长6m和4m,高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力[9].解：选取变量，确定区间，建立坐标系，找出AB的方程为y=-1x+3,取x微积6分变量,［0,6］为积分区间.取近似，找出微兀，在x［0,6］上任意取一微小区间［尤,x+dx］，该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为y,宽为dx的小矩形水平的放在距液体表面深度为x的位置上，压力微元为dF=2pgxydx=2x9.8x103x(-1x+3)dx6找出整量,取积分.从而求出闸门一侧所受水的压力为F=j69.8x103(-1x2+6x)dx=9.8x103［-1x3+3x2］|6总8.23x105N0 3 9 0一般来说，液体压力的计算公式为：F=jbpgxf(x)dxa其中,p是液体的密度,f(x)为平板曲边的函数式.3.2.3研究物体的引力一根长为l的均匀细杆,质量为M,在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点，试求细杆对质点的万有引力［10］解：建立直角坐标系，设细杆位于x轴上的［-1,1］，质点位于y轴上的点a,22任取［x,x+dx］u［-l,l］，当Ax很小时，可把这一小段细杆看作一质点,其质量22为dM=—dx.于是它对质点m的引力为lkmdMkmM,dF= = ,—dxr2 a2+x2l由于细杆上各点对质点m的引力方向各不相同，因此不能直接对dF进行积分,为此，将dF分解到x轴和y轴两个方向上，得dF=dF-sin0,dF=-dF-cos0由于质点m位于细杆的中垂线上，必使水平合力为0,即一 八F=jidF=0—2又由cos0=a ，得垂直方向合力为•%；a2+x2TOC\o"1-5"\h\z1-kmMa 、一3,F=J2dF=-2j2i(a2+x2)2dx02kmMa1x 11a2\：a2+x202kmM=—— -g4a2+12负号表示合力方向与y轴方向相反.3.2.4研究刚体转动问题半径为R,质量为M,密度均匀的圆盘绕过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量[11].我们用微积分的方法来求解，把圆盘分成许多无限薄的圆环,圆盘的密度为p,则半径为r，宽为dr的薄圆环的质量为：dm=p-2冗rhdr薄圆环对轴的转动惯量为dI=r2dm=2兀phr3dr然后沿半径积分得I=JR2兀phr3dr=2兀phJRr3dr=—冗phR40 0 2其中，阪R2为圆盘体积，p兀hR2为圆盘质量m,故圆盘的转动惯量为I=1mR2.2此处不能用小结，换一个词，物理应用还有引力等尽可能写的全一些，在查资料。再者，此处都没有例题来阐明。注意：通过借助微积分法来解决物理学中常见的棘手问题,进而分析了怎样应用微积分的“数学微元”思想来解决物理学问题的新思路.微积分在物理学中的应用，体现的不仅仅是运用数学工具去解决难以解决的物理学问题，更重要的是帮助我们正确的去理解物理概念、规律，形成物理观念及物理量中“数学微分”微积分形式的物理意义,在不同的物理问题中建立物理模型，并且要全面理解掌握微积分及其应用到实际的问题中去.第四章在经济上的应用微积分产生于生产技术和理论科学，同时又影响着科技的发展.在经济的领域内，将一些经济问题利用相关模型转化为数学问题，用数学的方法对经济问题进行研究和分析，把经济活动中的实际问题利用微积分的方法进行量化，在此基础上得到的结果具有科学的量化依据.经济研究商品价格、需求、供给、利润等范畴，所有这些都以量的形式表现出来.经济现象最复杂，它要用的数学理论也最高深.因为越是抽象的数学工具越适于分析实际上十分复杂的事物，在我们的日常生活中，数学已不再是单纯的用作计数或统计，还常用于对经济活动中的一些复杂现象进行分析.例如：风险利润、投资决策、等等，利用数学的知识与方法进行分析，将有助于我们理解这些经济活动，找出其中的规律，并作出决策.4.1边际分析在经济分析中的作用经济学中的边际问题，是指每一个自变量的变动导致因变量变动多少的问题,所以边际函数就是对一个经济函数f(x)的因变量求导，得出f'(X),其中在某一点的值就是该点的边际值.例1：已知某工厂某种产品的收益R(元)与销售量p(吨)的函数关系是R(p)=200p-0.01p2，求销售60吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义[12].解：根据题意得，销售这种产品〃吨的总收益函数为R(p)=200-0.02p因而，销售60吨该产品的边际收益是R'(60)=200—0.02x60=188(元).其经济学含义是：当该产品的销售量为60吨时，销售量再增加一吨(即Ap=1)所增加的总收益188元.这个问题看起来很简单，但是在实际生活中的应用意义很大.又如：例2：某工厂生产某种机械产品,每月的总成本C(千元)与产量x(件)之间的函数关系为C3)=x2-10x+20,若每件产品的销售价为2万元，求每月生产6件、9件、15件、24件时的边际利润,并说明其经济含义.解：根据题意得，该厂每月生产x件机械产品的总收入函数为R(x)=20x因此，该厂生产的x件产品的利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=20x-(x2-10x+20)=-x2+30x-20由此可得边际利润函数为L(x)=-2x+30那么每月该厂生产6件、9件、15件、24件时的边际利润分别是：L'(6)=-2x6+30=18(千元/件)L'⑼=-2x9+30=12(千元/件)L'(15)=-2x15+30=0(千元/件)L'(24)=-2x24+30=-18(千元/件)这个经济学的含义是：当该厂月产量为6件时，若再增产1件,此时的利润将会增加18000元；当该厂的月产量为9件时，若再增产1件，利润将增加12000元,有所降低；当月产量增加到15件时,再增产1件,利润反而不会增加；当月产量为24件时，若再增产1件，此时的利润反而会相应的减少18000元.由此我们可以得出结论:产品的利润最大，并不是出现在最大量的时候，也就是说多增加产量必定能够增加利润，只有合理统筹安排工厂的生产量，这样才能取得最大的利润.由此可得结论：当产品的边际收益等于产品的边际成本时，此时就已经达到了最大利润，如果再进行扩大生产了，产品反而会亏本.4.2弹性分析在经济学中，某变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数.在经济工作中有很多种的弹性，研究的问题不同，弹性的种类也不同.如果是价格的变化与需求之间的反映，这个反映我们称为需求弹性.由于消费需求的不同以及商品自身属性的差异，同样的价格变化给不同的商品的需求带来不同的影响.有些商品反应很灵敏,弹性大，价格的变动会造成很大的销售变动；有的商品反应较缓慢,弹性小，价格的变动对其没什么影响.①需求弹性。对于需求函数Q=f(p),由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)为具有一定单调性，是一个单调减函数，或与小弓异号，所以定义需求对价格的弹性函数为"p)=-f'(p)•二f(P)当h(p)|>1,表示对于该产品来说，目前市场的需求量越来越大，商品需求量的幅度要比价格的升降幅度更大.当企业出现这种情况时，企业如果将价格适当降,，那么商品的需求量将会增加很多，使公司获得的效益最.当h(p)|=i,表示对于该商品来说，目前市场的需求量并没有太大变化，商品的需求量的升降幅度与价格的升降幅度相同.当企业出现这个状况时表示不管企业将商品的价格降低或提升，对于企业来说，公司获得的效益基本上没有多大的变化.当h(p)l<i,表示对于该商品来说，目前市场的需求量越来越小，商品的需求

量的升降幅度要比价格的升降幅度小，当企业出现这种状况时，企业应该考虑将价格提升，价格的升高虽然会导致需求量的减少，但需求量的减少幅度要比价格上涨的幅度小，因此企业还是可以获得更大效益的.所以在实际的市场竞争当中，企业的经营者就对商品的需求价格弹性了如指掌，正确把握市场方向感，及时调整商品的价格，只有这样，企业才能在激烈的市场竞争中获得更大的市场份额，使企业得以更好地发展[14].下面我们从一个例子来解释一下.p—例3：设某种商品的需求函数为Q=ef（p），求需求的弹性函数;p=3，p=5，p=7的需求弹性.解:p

f(解:3n（3）=5=0.6<1说明当p=3时，价格上涨1%，需求减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度；n（5）=5=1，5说明当p=5时，价格上涨1%，需求也减少1%,需求变动的幅度与价格变动的幅度是相同的；n（7）=—=1.4>1，5说明当p=7时，价格上涨1%,需求减少1.4%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.②收益弹性收益R是商品的价格p与其销售量Q的乘积，在任何的价格水平条件下，收

益弹性与需求弹性之和总是等于1.若叩＜1时，商品的价格上涨（或下降）1%,收益增加（或减少）（1-门）％;若叩=1时，价格变动1%，收益不变；若叩〉1时，价格上涨（或下降）1%，收益减少（或增加）（1-门）％.4.3微积分在投资决策中的应用在经济生活中微积分的作用是极其重要的，它能解决许多复杂的经济问题.我们知道，若初始年（t=0）将资金A0一次性存人银行,年利率为r,则这笔资金以连续复利方式结算的t年末价值即为A=er，但如果采用均匀流的存款方式，即货币像水流一样以定常流量源源不断地流人银行（类似于“零存整取”），则计算t年末的总价值就可以采用定积分的方法.现用微元法分析如下：:t,t+dt］时段内的货币流量为adt，于是可得该货币流T年末总价值的微元dA-adt-er(t-t)=aerT-e-rtdt从而该货币流T年末的总价值即为A=jTdA=aetTjTe-rtdt=aert（-Le-rTlT）=a（erT-1）T0T0 r0据此，我们还可以求得它的贴现价值为(1)A=a(1-e-T)的本利0rA0=A，e-rT=-(erT-1)e-(1)A=a(1-e-T)的本利0r即该均匀货币流T年末的总价值相当于初始年一次性存款所得了解了这一点,可以帮助我们确定投资的回收期.某公司一次性投入2000万元投资一个项目，并于一年后建成投产，开始取得经济效益,如果不考虑资金的时间价值，投产5年就能收回全部的投资；但如果将资金的时间价值考虑在内，情况就不那么简单了.假设银行的年利率r=0.05,并设x+1年后可以收回资金，则由公式(1)可知,该项目投产x年产出的总效益为：A=—(erx—1)=箱。(e0.05x—1)=8000(e0.05x—1)(万元)xr 0.05它在x+1年之前(即开始投资时)的价值为：A=Ae-r(x+1)=8000(e0.05x—1)e-0.05(x+1)=8000e-0.05(1—e0.05x)(万元)—1 x因此，当A=2000万元时，表明恰好收回投资，即8000e-0.05(1—e0.05x)=2000—1解此方程，得x=201ln―4—R6.098(年)4—e0.05即公司收回全部投资的时间为7.098年.小结在经济学领域中把经济学现象分析归纳到数学领域中，进行求解，在经济学领域中具有实际的指导意义.对于企业经营者来说，对经济环节进行定量分析是非常有必要的，将微积分作为分析的工具，可以给企业经营者提供客观、精确的数据,在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是微积分应用性的具体体现.文章在前面几何、物理应用上没有提及导数也就是微分应用，考虑一下微积分作为数学的重要分支，无论是在生活中还是在学习中，都能够实现目标最大化、最优化效果.会丰富和发展人们的生活，进一步将微积分的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献.在现实生活中，我们身边的一切事物都能为数学研究提供服务，实际上,微积分本身就存在于生活的各项事物中，只有不断深入