【湘教版】高中数学必修一期末试卷

x0,0,x0,0,一、选题1．已知

fx)

是定义在R上的奇函数，且当x，fx

，若关于的程f()f(x)

恰好有四个不同的根，x，，x，则1234

的取值范围是（）A．

1B．

C．

．

1

2．流行病学基本参数：基本再生数

0

指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：

I(t)N

rt

（其中N

是开始确诊病例数）描述累计感染病例

I(

随时间（位：天）的变化规律，指数增长率r与R，T满0

rT

，有学者估计出

3.4,60

．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当

It2

0

时，t的为（

）（）A．B．C．．2.53．双十”要了，某品原价为元，商家在节前先连续

次对该商品进行提价且每次提价10%然在双十”期间连续的价格与原来的价格相比

次对该商品进行降价且每次降0%则最后该商品A．相等4．已知

B．有提高a0.2,b0.2,c0.2

C．略有降低，则（）

．法确定A．

a

B．a

C．

．b5．设2，

b，c558

，则（）A．

a

B．

C．

c

．

c6．已知

f(x)

x

，若正实数满

f(log)4

，则取值范围为（）A．C．

3a40

34

或

0B．．

34或437．设

fx)

是奇函数，且在(0,是函数，又

f(0

，则

f(x)

的解集是（）A．

{0或0x2}

B．

{x2}C．

{2}

．

{x8．已知定义在R上函数

f

的图像关于轴称，且当

x

时

f()

单调递减，若

则

bc

的大小关系（）

x,1B．x,1B．A．9．函数A．

logx

B．的大致图象是（）B．

C．C．

．c．10．集合MNx为（）A．

x

B．

x

C．

．

11．集合A|是（）1A．

{x0}，，则实数的值范围1,1C．

(

．

[(0,1)12．合

y个是（）A．B．C．D．二、填题13．用二分法求方程3x的个近似解时，现已经将根锁定在区(内，则下一步可以断定该根所在区间___________.14．关于的程

a

（

且

）恰有两个解，则k的值范围______.15．知

log2a，用a的子表示

log3

________．16．函数f()

10

a

,其为实数如果当

时f()

有意义则的值范围是_______.．若函数

f()

，若存在区间

[a,b](

，使得当

a]

时，

fx)

的取值范围恰为

[b

，则实数的值范围_18．数ya(a>0且a在［］上的最大值比最小值大

a2

，则=______.19．空集合

G

关于运算

满足：对意

b

，都有

aG

；存

使得对于一切

都有

aa

，则称

是关于运算

的融洽集，现有下列集合与运算①G

是非负整数集，

：实数的加法；

是偶数集，

：实数的乘法；③G

是所有二次三项式构成的集合，

：多项式的乘法；

xxxx．39④

GxQ，：数的乘法；其中属于融洽集的________（填写编号）20．集合

MN

则实数k的值范围为_______.三、解题21．知定义在上奇函数

f(x)

满足，当

x(

时，

f()x

．（）函数

fx)

的解析式；（）函数

x

，证明：函数

g(x

的图像在区间

内与x轴有一个交点．22．服装厂品牌服装的年定成本100万，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装万并全部销售完，每万件的销售收入为R（）元且1108xx3Rx108010000xx2（）出年利（元）关于年产量（万件）的函数关系式；（）产量为少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利年销售收入－年总成本）23．算下列各式：（）

5

（）log46

6

24．义在D的函数

fx)

，如果满足：对任意

x

，存在常数

，都有f()成立，则称f()

是D上“有界函数，中M称函数f(x)

的上界．已知函数f(

（）

a

12

时，求函数

fx)

在上值域，并判断函数

f()

在(上否为有界函数，说明理由；（）函数

fx)

在[是4为界“有界函”，求实数的取值范围．25．知函数

yf

是定义在上奇函数，且当x，

f

x

．（）函数

f

的解析式；（）出函数

f

在上单调性（不需要证明）；（）对任意数mf

恒成立，求实数

t

的取值范围．

由22由2226．全集UR，合={xm，合

（）m=时求

);U（）A=A，实数m的值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】由奇函数得出

f()

的性质，作出函数图象，可知

f(x)

的解的个数，令

tfx)

，原方程变为

t

at

，根据

fx)

的解的情形，可得

t

a

有两不等实根且实根

t1

都在上由二次方程根的分布得的围，应用韦达定理得ttt112

，这样

13

就可能用表示，并根据a的求得结论．【详解】由题意

f

，

x

时，(()

，作出函数

f()

的图象，如图，若a，方程(x)f(x)

为f()f(x)

，

f(x)0

或fxf()0tfx)，

三个解，

f()

有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设因此关于t方

t

at

必有两个不等实根，又t22

，所以tt，而，0且t1212

.若其中一根为1，由

1

，

时，

无数解，

，

或a，合题意．因

tt2

，a

，解得

13

且

．不妨设则

f()f(x，f(x)f()34

，

141

t)]2121

2]

2

)

，

13

1a且．249

且a0

16

．故选：．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数

fx)

的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a的范围．2．B解析：【分析】根据所给模型求得

r

，代入已知模型，再由

It2N

0

，得

ertN

，求解

t

值得答案【详解】解：把

3.4,代R00

，得

3.4r

，解得

r

，所以

It)0

t

，由

It2N

0

，得

NetN

，则e

，两边取对数得，

t2，t

ln0.690.40.4

，故选：【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题

c11155588c111555883．C解析：【分析】由题意列出商品最后的价格，利用指数幂的运算性质计算结.【详解】10%

（10%1.1

=

<1，故选C.【点睛】本题考查了指数幂的实际应用，考查了指数的运算性质，属于中等.4．B解析：【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出果【详解】

bc

的取值范围，从而可得结因为

log0.2log1

，30.2

0

，00.2

.3

02

1，a

．故选：．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答5．A解析：【分析】由

1log2，log

，即可得出，b，的小关系【详解】

111，log5，52，32

.故选：【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题6．C解析：【分析】先判断

f)

是R

上的增函数，原不等式等价于

l

，分类讨论，利

用对数函数的单调性求解即可【详解】因为

y

与y

都是上的增函数，所以

f(x)

是R上的增函数，又因为f

所以

f

)

等价于

log

，由

1log

，知

34

,当

时，

x

在

上单调递减，故

，从而

0

34

；当时

yx

在

上单调递增，故

a

34

，从而，综上所述，a的取值范围是

0

34

或，选C.【点睛】解决抽象不等式

f

时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数

f

的单调性．若函数

f

为增函数，则a；函数

f

为减函数，则a．7．A解析：【分析】由

f(x)x

对

x

或

x

进行讨论，把不等式

f(x)x

转为fx)或f(x)的问题解决，根据

f()

是奇函数，且在是函数，又

f(

，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【详解】解：

fx)

是R上的奇函数，且在是函数，在(内

fx)

也是增函数，又

f(

，f，当x时，

f(x)

；当

x

，

0)

(2

，

，f(

；

f(x)x

的解集是

{|

或

0x

．故选：．【点睛】

本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；8．A解析：【分析】函数

f

是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案．【详解】函数

f

的图像关于轴对称，函f()

为偶函数，log

log

，flog33，1212log3422

，0.5

1.3

2，

．当

x

时，f()

单调递减，

，故选：【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．9．D解析：【解析】

xxlog

，所以当x时，函数

logx

为增函数，当

时，函数

x

也为增函数，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档这题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可.解这类题型可从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及

x0

,x

时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排.10．解析：【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{0

，再结合集合交集的运算，即可求.

axax,y【详解】由题意，集合M1},2}

，所以

故选：【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合A,是解答的关键，着重考查了计算能.11．解析：【分析】先根据分式不等式求解出集合A，后对集合中参数与0的系作分类讨论，根据子集关系确定出的围【详解】x因为，以xxx

，所以，所以

当a

时，

1

不成立，所以

，所以

B

满足，当

时，因为

，所以

x

，又因为

B

，所以

，所以

0

，当a时因

ax，所以x

，又因为B，以

，以

，综上可知：

,13

.故选：【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一.解式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解.12．解析：【分析】根据条件求解的范围，结合

xy

，得到集合为{2,5,6}，利用集合真子集个

数的公式即得解【详解】由于

yN

06，x

xy6,5,2

，即集合

xN故真子集的个数为：2

7故选：【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档.二、填题13．【解析】试题分析：根据二分法取区间中点值而所以故判定根在区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法属于基础题型对于零点所在区间的问题不管怎么考察基本都要判断端点函数值的正负如果异号那零点必在此3解析(,2)2【解析】试题分析：根据二分法，取区间中点值，，所以

，而，故判定根在区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间．14．【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数图象交点个数问题结合指数函数的性质利用数形结合进行求解即可【详解】解：不妨设则作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解则即实数的取值范围是故答案为：【解析：

0,1【分析】根据函数与方程之间的关系，转化为函数图象交点个数问题，结合指数函数的性质，利用数形结合进行求解即.【详解】

222222解：不妨设，则

(xa

x

a

xx

，作出函数

f

的图象如图：要使方程

（

且

a

）恰有两个解，则

，即实数的值范围是故答案为：

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用指数函数的性质转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关.15．【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：故答案为：【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案解析：a【分析】根据换底公式和对数运算性质得

log9318log218

运算化简即可得答案【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：31log11811log2111181822loglog22log218181818.故答案为：【点睛】

a

.解本题的关键在于根据换底公式得

3log3log218

，再结合对数运算性质化简

即可得答案2xx即可得答案2xxx1log9318log21816．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单解析：

[【分析】由题意可得对任意的

(，恒立，分离变量后利用函数的单调性求得g(x)在【详解】

上的范围，即可得解根据题意对任意的

，

x

10

a

恒成立，即

恒立，则，8因为函数g()在8所以.

上为增函数，故答案为：

[【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础17．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：

【分析】根据二次函数的单调性得出

f()x

2

是(上减函数，从而有，整f(理得b

，即关于的程a

，区间

内有实数解，记h(a2【详解】

，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范.

222222函fx，b

2

是(上减函数当a]，

f(f(

，即两式相减得a22，即

b

，代入2得2，由

，且

b

得

，故关于的方程2，区间

12

内有实数解，记

h(a

，所以函数

1h()

上单调递减，则

，即12

，解得

34

，故答案为：

.【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调.18．或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时13解析：或22【分析】由题意按照a、【详解】

0

分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得.当a，

y

x

是增函数，则

，解得a

或a

（舍去）；当

时，

y

x

是减函数，则

，解得a2

或

（舍去）；综上，

1或22故答案为：【点睛】

1或22

关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与数大于0小1两情况解本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算解能力及分类讨论思想19．④分析】逐一验证每个选项是否满足融洽集的两个条件若两个都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】对于任意的两非负整数仍为非负整数所以取及任意的非负整数则因此是非负整数集：实数的加法是融洽集解析：④【分析】逐一验证每个选项是否满“融集的个条件，若两个都满，“洽”，一个不满足，则不“融洽”【详解】①对任意的两非负整数

,

仍为非负整数，所以

取及意的非负整数a，则a，此G是负整数集，

：实数的加法是融集；②对任意的偶数

，不存在

G

，使得

成立，所以的不“融洽；③对

G{

二次三项式}若任意

b

时，则其就不是二次三项式，故不是融集；④Gxb，xa,

，dx)2,a2

，所以

x12

；取

，任意

aa

，所以中G是融集”故答案①④.【点睛】本题考查对新定义的理解，以及对有关知识的掌握情况，关键是看所给的数集是否满融洽集的个条件，属于中档.20．【分析】首先求得集合N然后确定实数k的取值范围即可【详解】由题意可得：结合可知实数k的取值范围是：故答案为：【点睛】本题主要考查交集的运算由集合的运算结果求参数取值范围的方法等知识意在考查学生的转化解析：

k【分析】首先求得集合N，后确定实数k的值范围即可.【详解】由题意可得：

11x111x11212结合

知实数k的取范围是：k

.故答案为：

【点睛】本题主要考查交集的运算，由集合的运算结果求参数取值范围的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力三、解题21．1）

f

x

1xxx

；（）明见解.xx【分析】（）

x，

，利用

f(x(求x(0,

时的解析式，结合

f(0)(0)

即可得答案；（）利用定证明当

x

时，

f)x

x

递增，结合

y22

在(1,

单调递增，可得

在

单调递增，利用零点存在性定理可得答案【详解】（）

x，

，所以所以所以

f()(当x时，xf(x.1xxxf

f(0)(0)

，xx（）

x

时，由1）

f)x

x

，设

1x1

，则f()()

1

111212xxxx因为

1x，所以x0，x,所(x)f(11122

，即f(x)()12

,所函数

fx)

在

单调递.又为

y2x

2

在

(1,

单调递

x时，时，xx时，时，x增，所以

在

(1,

单调递增，又因为g

32

，即

g

，所以函数

(x

在

恰有一个零点．即函数

g(x)

的图象在区间

内与轴有一个交点【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档.利定法判断函数的单调性的一般步骤是：（）在已知区间上任取

x2

；）作差

f2

1

；（3）判断f

的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），

2可得

在已知区间上是增函数，

f

在已知区间上是减函数.181x100x322．1）y；（）年产量为万时，服厂在这xx3x一品牌服装的生产中获年利润最大【分析】（）已知条分类即可写出年利润（元）关年产量（件）的函数关系式（）别求分函数在各段内的最大值，对比即可得到服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大值，由此得到年产量．【详解】（）

x

27x100

.当

x

108010000x980xxxx所以年利润y（元）关于年产量（万件）的函数关系式为：1x100x103yxx3x（）

0时y81x

x

3

，所以

y

，由

y

得：x，

当

x

时，

y

813100386

.

5aatx5aatxa当时

10000x9803803

，当且仅当

x

时，等号成立.

当年产量为9万时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了利用导数求函数的最值、利用基本不等式求函数的最值，考查了分类思想及计算能力，属于中档题．23．1）；（）3.【分析】（）接利用数幂的运算法则化简求解；（）接利用数的运算法则和性质化简求.【详解】（）

=2（）

46

6

32

2log922log2log2

2

=

log(2

.【点睛】易错点睛：n

a(n是数,

|(偶数.使上面的公式时，一定要注意的奇偶性，再化简24．1）域为

，不是有界函数；由见解析；）

(2]【分析】1（）代函数的表达式，令，得t，求出2

t

的值域，即为

f()

在值域，结合有界函数的义进行判断即可；（）题意知

x)4

对

[0,

恒成立，令，得

t(0,1]

，整理得a