【教师卷】西宁市九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典测试题(专题培优)

一、选题1．欧几里得在《几何原本》中，记载用图解法解方程x

ax

的方法，类似地可以用折纸的方法求方程2的一正根，如图，裁一张边长为的方形的纸片ABCD

，先折出

的中点，再折出线段，然后通过折叠使EB落线段EA上折出点的新位置，而EFEB，似地，在AB上折出点M使

，表示方程

2

的个正根的线段是（）A．线段BM

B．段AM

C．线段AE

．段EMB解析：【分析】设正方形的边长为1，＝AM＝，据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为，AF＝AM＝，则BE＝＝

1，＝，2在eq\o\ac(△,Rt)ABE中AE

＝+BE

，（+

11）＝（），22x+＝，的为x+＝的个正根，故选：．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型．2．下列方程中，没有实数根的是（）A．x

x0

B．

C．2x

2

．

2

D解析：【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A、ac6，方程有两个不相等的实数根，所以A选不符合题意；

B、2选项不符合题意；

，则方程有两个不相等的实数根，所以BC、2项不符合题意；

，则方程有两个不相等的实数根，所以选、

，则方程没有实数根，所以选符合题意．故选：．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程

2

(

a

)的与

2

ac有下关系：eq\o\ac(△,)＞时，方程有两个不相等的实数根；eq\o\ac(△,)时，方程有两个相等的实数根；eq\o\ac(△,)＜时，方程无实数根．3．为促进消费，重庆市政府开展发放府补贴消费“消券活”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月的销售额为200万，接下来5月6月的月增长率相同，月的销售额为

万元，若设5月6月月的增长率为，则可列方程为（）A．

B．

200C．

200

．

200

C解析：【分析】根据4月的销售为200万，接下来5月6月的月增长率相同6月份的销售额为500万元，以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，（x）＝，故选：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．4．在一幅长80cm，的形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，金色纸边的宽为，么满的方程是（）A．x+65x-350=0B．2C．

-130x-1400=0D．A

1212112121212解析：【分析】本题可设长为（）宽为（）再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：）50+2x）=5400，即2=5400，化简为4x

，即x+65x-350=0故选：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．5．若关于的程（m﹣）+mx﹣＝0是元二次方程则的取值范围是（）A．≠1

B．＝C．≥1D．≠0解析：【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：﹣≠0解得：，故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的式方程叫一元二次方程．6．已知x、是元二次方程x﹣x﹣＝的个根，则x•x等（）A．

B．C．1．﹣

C解析：【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【详解】解：方2-4x-1=0的个根是，，x∙x=-1．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和-

c，两根之积是．a7．下列关于的元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．

2

B．

0

C．x

2

．

2

D解析：

12121212【分析】分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情.【详解】A选：，该程没有实数根，故错误；B选项：

，该方程有两个相等的实数根，故B错误；C选：

，该程没有实数根，故C错；D选项：

，方有两个不相等的实数根，故正；故选：【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，正确求根的判别式的值，掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键8．已知a、、、为互不相等的实数，(+man)＝，(bmb+n＝，则﹣的值为（）A．

B．C．2．﹣

C解析：【分析】先把已知条件变形得到+(+n)amn2，2+(mb+mn﹣＝，则可把a、看作方程+(m+xmn﹣＝的实数根，利用根与系数的关系得到＝mn﹣，而得到ab﹣mn的．【详解】解：(am)(+n＝，+m)(+n)＝，a+(+)a+﹣＝，+(m+b2＝，而a、、、为互不相等的实数，可把a、看作方程x+（+n）mn﹣＝的个实数根，ab＝﹣，ab﹣＝．故选：．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，“a、看方程+（n）+mn﹣＝的实数”是解题关键．9．一元二次方程（﹣）2﹣＝的是（）A．＝

B．＝C．＝，＝﹣5D．＝，x＝D解析：【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：（﹣）﹣＝，（﹣）

＝，

12121212121212121212121212121212则﹣＝或x﹣＝2，解得5，＝，故选：．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关.10．图BD为矩形的对角线，eq\o\ac(△,)沿翻得到BCAD交于点．ABx，＝，＝，中、是关于x的方程x﹣4x+m＝的两个实根，则m的是（）A．

B．

125

C．D．

A解析：【分析】利用根与系数的关系得到＋x＝，x＝，＋

1BC，＝AB×再利用折2叠的性质和平行线的性质得到＝，则EBED3所以AE＝AD−DE＝−2AB，利用勾股定理得到AB＋−2AB）＝3

，解得＝

10或AB＝（5去），则BC＝

，然后计算的．【详解】x、是于x的方程−4x＋＝的个实根，x＋＝，xx＝，1即＋BC＝，＝BC2BCD沿BD翻得eq\o\ac(△,)BC′D，BC与边AD交点，＝EBD，＝EDB＝EDBEB＝＝，在eq\o\ac(△,)ABE中，AE＝＝−3＝−2AB

＋（−2AB）2＝

，解得

AB＝

10或AB＝（去，55

12121212121121212121212BC＝−2AB＝

2055

，＝

15××25

＝．故选：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，是一元二次方程＋＋＝（）的两根时，x＋＝

c，x＝．也考查了矩形的性质和折叠的性质．a二、填题11．程

x(x

的二次项系数为________，次项系数为_______，常数项为________．方程判别式的值，此可以判断它的根的情况为___________．2-6312有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式再计算出判别式的值根据结果判断根的情况【详解】解：化简可得：二次项系数为2一次项系数为-6常数项为3该方程判别式的值为由此可以判断它的根的解析：-6312有个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式，再计算出判别式的值，根据结果判断根的情况．【详解】解：化简可得：

二次项系数为，一次项系数为，常数项为，该方程判别式的值为

，由此可以判断它的根的情况为：有两个不相等的实数根，故答案为：；；；；有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握定义和根的判别式．12．元二次方程

(xx2)

的解是．分析】直接利用因式分解法得出方程的根【详解】解：(x-5)（=0∴x-5=0或x+2=0∴x1=5x2=-2故答案为：【点睛】此题主要考查了一元二次方解析：=5x=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根．【详解】解：（）x-5=0或x+2=0，x，=-2，故答案为：=5x=-2【点睛】

1212此题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解因式分解法解方程是解题关键．13．知（+2）（x

+﹣），则x+．分析】设x2+y2=m把原方程转化为含m的一元二次方程先用因式分解法求解再确定的值【详解】设x2+y2=m原方程可变形为：m(m﹣5)=6即m25m6=0(m﹣6)(m+1)=0解析：【分析】设+2=，把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x+y

的值．【详解】设+2=，原方程可变形为mm﹣5)=6，即m2﹣m﹣．m﹣m，解得，=﹣．mx+2≥0，x+=6．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．14．m是方程x的根，则2m2018的为_________2020【分析】根据m是方程的根得代入求值【详解】解：∵m是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：【分析】根据是方程2的，得2，入求值．【详解】解：m是程

2

的，

m2m即，原式

20182020

．故答案是：．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．15．元二次方程2的解为_________或【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可【详解】解：x2=2xx2-2x=0x（x-2）=0x=0x-2=0x=0或2故答案为：或2【点睛】本题考查了解一元二次方程的应解析：或．

12121121212t【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：=2x，x-2x=0，x（），x=0，x=0或2．故答案为：或．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．16．于任意实数ab定义b＝++b2．若方程（x）﹣＝的两根记为m、n，则m+2）n）_____．【分析】根据新定义可得出mn为方程＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m＋n−2mn＝变形（＋2（n＋2）得到mn＋2（m＋＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】解析：【分析】根据新定义可得出、为方程2＋−1＝的两个根，利用根与系数关系可得出＋＝、＝，形＋）＋）得到＋（m）＋然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：（）﹣＝+2x+4，m、为方程x+2﹣＝的个根，mn＝﹣，＝1，（+2）（+2mn+2（mn）＝﹣（）＝﹣．故答案为﹣．【点睛】本题考查了一元二次方程2＋＋＝（）的根与系数的关系：若方程两根为x，x，则x＋＝

c，•x＝．a．若是一元二次方程

的根，则判别式

4ac与完全平方式

M

的大小关系为相等【分析】由是一元二次方程的根利用公式法解一元二次方程即可得出t的值将其代入完全平方式中即可得出的值由此即可得出结论【详解】∵t是一元二次方程(的根∴或当时则；当时则；∴故答案为：相等【解析：等

【分析】由是一元二次方程ax

2

(

a

)的根利用公式法解一元二次方程即可得出的值，将其代入完全平方式【详解】

中即可得出M的，由此即可得出结论．是一元二次方程

ax

2

0

a

)的，

t

22或ta

，当

b2a

时，则Mb

ac

；当

b2a

ac

时，则M

ac

ac

；

ac．故答案为：相等．【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t值是解题的关键．18．知、

是方程

2

x2019的根，则

值为_______2016【分析】将x=a代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解：由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键解析：【分析】将代入22019可得2a然后由根与系数之间的关系得到

，整理即可得到答案．【详解】解：由题意可知，a

2

a，

，a，a

)20192016

．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键．19．解决民生问题，国家某药品价格分两次降价，该药品的原价是4元，降价后的价格是30元若平均每次降价的百分率均为x可列方程．_．48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格第二次降价占第一次降价的百分比=30由此即可求解【详解】解：设平均每次降价的百分率为x则第一次降价后的价格为48(1-x)第二次降

解析：2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价×第次降价占第一次降价的百分30，由此即可求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格为48(1-x)，第二次降价后的格为48(1-x)(1-x)，由题意，可列方程为48(1-x)2=30．故答案为：=30．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．20．知关于的程x﹣+q＝的两根为3和﹣，则p＝，＝．【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程解之即可得出结论【详解】解：根据题意得﹣3+（﹣）＝p﹣﹣1）＝q所以p＝﹣＝3故答案为﹣43【点睛】本题考查了根与系的关系解析：【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：根据题意得3+1＝p，3×（﹣）q，所以p＝﹣，＝．故答案为﹣，．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找（）（）（-1）是题的关键．三、解题21．国家的调控下．某市品房成交价由今年月份的50000元/m

2

下降到月的40500元

2

．（）～两平均每月降价的百分率是少？（）果房价续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元？说明理由．解析：1）、两平均每月降价的百分1；）月该市的商品房成交均价不会跌破30000元/m，解析【分析】（）、两平均每月降价的百分率是x，那么月的房价为50000（）10月份的房价为50000），后根据10月的40500元m

即可列出方程解决问题；（）据1）结果可以计算出今年12月份商品房成交均价然后和30000元m

进行

比较即可作出判断．【详解】解：（）这月平均每月降价的百分率是，根据题意得：

解得：

x12

（不合题意，舍去）答：、两平均每月降价的百分率1（）会跌破30000元/m．40500

12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元

/m

2【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．22．方程．（）

0．（）

(2x2

．（）

x3xx

．解析：1）

x，x；2）1

12

，

2

；（）

【分析】（）用因式解法解方程，即可得到答案；（）移项，后利用因式分解法解方程，即可得到答案；（）把分式程化为整式方程，然后解方程即可得到答案．【详解】解：（）x

0，(0x，12

，，原程的解为：，12

．（）

(2

，

x2

，

(2

，

(2xx4)

，

x1

12

，

2原程的解为：1

12

，

x

12121212（）

x3xx

，

(x3)x

，

x

2

2

，

x

，

x

，经检验：

为原方程的解，原程的解为

x

．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，注意解分式方程时组要检验．23．知：关于x的一元二次方程

x

2

m

．（）知是程的一个根，求的值；（）这个方的两个实数根作为

中、（）边长，当BC

5时，

ABC

是等腰三角形，求此时m的值．解析：1）或；（）m=-1或m=-2．【分析】（）x=2代方程x-（）x+m+3m+2=0得关于m的元二次方程，然后解关于m的方程即可；（）计算出别式，再利用求根公式得到x=m+2，=m+1则AC=m+2AB=m+1．后讨论：当AB=BC时，有；时有，再分别解关于m的次方程即可．【详解】解：（）x=2是程的一个根，4-2（2m+3+m+3m+2=0，或（）=（）-4（m）=1，x=

2m2x=m+2x=m+1AB、（＜）长是这个方程的两个实数根，AC=m+2，．BC=，ABC是腰三角形，当AB=BC时，有，m=

-1；当时，有5

m=

5-2，综上所述，当m=-1或5时eq\o\ac(△,，)是等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，公式法解一元二次方程，也考查了等腰三角形的判定．24．水果超市以每千克元的价格购进一批大枣，规定每千克大枣的售价不于进价又不高于40元经市场调查发现大枣的日销售量y（千克）与每千克售价x（）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）日销售量（千克）

……

25110

30100

3590

……（）与x之的函数关系式；（）水果超想要获利1000元日销售利润每千克大枣的售价应定为多少?解析：1）

y

；（）贸司该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为30元【分析】（）待定系法求解即可；（）据总利=每克利润数量列方程求解即可．【详解】解：（）一函数解析式为：

，将：

代入，得

k110解：，100一函数解析式：

y

；，（）题意得

整理得：x

100x2100，解得

x301

，

x2

（不合题意，舍去），即商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克枣的售价应定为30元．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解（）关键，出方程式解2）关键．25．方程：（）

（配方法）（）2=(3-x)2（式分解法）解析：1）

xx12

12

；（2）

x1

，

x

【分析】（）先把方移项变形为2x

-3x=-1的形式，二次项系数化为1，再进行配方即;

x412x412（）据平方公式可以解答此方程．【详解】（）：移项得2-3x=-1二次项系数化为，得x-