大一第二学期-微积分9.2一阶微分方程

9.2一阶微分方程1.可分离变量的微分方程2.齐次微分方程3.一阶线性微分方程00:01:12（1）分离变量;（2）两端积分------隐式通解.1、可分离变量的微分方程:分离变量法复习一阶微分方程求解方法（初等积分法）00:01:129.2一阶微分方程1.可分离变量的微分方程2.齐次微分方程3.一阶线性微分方程00:01:12二、齐次微分方程形如微分方程的右端为齐次函数.若这里t为任意则称为齐次函数）．例下列方程为齐次微分方程.定义称为齐次微分方程.实数，（齐次函数是指：齐次微分方程的特点：的微分方程，9.2一阶微分方程

00:01:12可分离变量的方程(化为可分离变量的微分方程)（4）齐次微分方程的解法对齐次微分方程即作变量代换两边求导得将其代入原方程，得(替换分离法)求出积分后，即得原方程的解。分离变量得它的通解为

二、齐次微分方程00:01:12例1求微分方程的通解．作变量代换即分离变量取积分，得

求不定积分，得

即将回代，解即则得到原方程的通解为二、齐次微分方程（替换分离法）00:01:12例2

求微分方程的通解.解即分离变量取积分，得

求不定积分，得

即将回代，作变量代换即则得到原方程的通解为

原方程可写为00:01:12二、齐次微分方程（替换分离法）解原方程可改写成代入原方程得分离变量得两边积分得则原方程的通解为例300:01:12二、齐次微分方程（替换分离法）例4Solution.00:01:12二、齐次微分方程（替换分离法）00:01:12二、齐次微分方程（替换分离法）例4三、一阶线性微分方程形如一阶线性微分方程.

的微分方程,也称为与方程相对应的一阶线性齐次微分方程。定义或称线性齐次方程为线性非齐次方程的特殊情况。称为上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.特点“一阶”：未知函数的导数为一阶.“线性”：未知函数及其导数都是一次.00:01:12非齐次项或右端项例一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程三、一阶线性微分方程（一）一阶线性齐次微分方程的求解00:01:12（一）一阶线性齐次微分方程的求解求线性齐次方程的通解.（C为任意常数）(使用分离变量法)（通解公式）三、一阶线性微分方程00:01:12解2将方程两边同除以x，得这是一个线性齐次方程，代入通解公式得例1（用分离变量法）解1（公式法）（通解公式）例2三、一阶线性微分方程00:01:12例2解这是一个线性齐次方程，代入通解公式得三、一阶线性微分方程例3（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:12求线性非齐次方程的通解.（二）一阶线性非齐次微分方程的求解由于线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况，我们可设想将齐次线性方程通解式中的常数C换成待定函数有可能是线性非齐次方程即的解。

下面我们研究这种方法的可行性。三、一阶线性微分方程00:01:12将上式变形为两边积分为非齐次方程通解形式与线性齐次方程通解相比:求线性非齐次方程的通解.则

由此，引入求解一阶线性非齐次方程的常数变易法。（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:12求非齐次线性方程的通解.设将其对x求导,得是非齐次方程的解,将上式积分，得其中C(x)为待定.（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:12

上式即为线性非齐次微分方程的通解.(通解公式)（二）一阶线性非齐次微分方程的求解得线性非齐次方程的通解常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.00:01:12一阶线性非齐次微分方程的通解可写为:对应齐次方程通解非齐次方程特解结论：一阶线性非齐次方程的通解是对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和。以后还会看到，这个结论对于高阶线性非齐次方程亦成立。（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:12一阶线性非齐次微分方程的两种求解方法方法一：常数变易法（1）求齐次方程的通解（2）将齐次方程通解中的常数变易为函数（3）变易后的函数代入非齐次方程中确定（*）（4）函数代入（*）式得非齐次通解求线性非齐次方程的通解.00:01:12方法二：公式法（1）将给定方程变为标准方程形式（2）确定方程中的（3）将代入方程的通解公式中（4）积分得线性非齐次微分方程通解.一阶线性非齐次微分方程的两种求解方法00:01:12解例1第一步，求相应的线性齐次方程的通解.的通解求方程（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:12或解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解例1.的通解求方程（二）一阶非齐次线性微分方程的求解00:01:13解2(公式法)例2解法1（常数变易法）所以（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:13故得原线性非齐次微分方程的通解为（二）一阶线性非齐次微分方程的求解例200:01:13解法2公式法将其代入公式通解公式，得通解00:01:13

将方程标准化为于是由初始条件故所求特解为得例3解的特解.（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:13例4解代入通解公式得将（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:13注意:类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程同时也有常数变易法.（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:13例5则方程可改写为解对于未知函数x(y为自变量)来说，其通解公式为性非齐次方程上式方程为一阶线由方程变为则显然不是线性微分方程.（二）一阶线性非齐次微分方程的求解00:01:13这里将其代入通解公式，得所求方程的通解为00:01:13（1）分离变量;（2）两端积分------隐式通解.1、可分离变量的微分方程:2、齐次方程分离变量法替换分离法小结典型的一阶微分方程求解方法即得原方程的解。求出它的通解后,

（初等积分法）00:01:133、一阶线性微分方程（通解公式）①公式法②分离变量法②求线性非齐次方程的通解.①线性齐次方程的的通解.①公式法（通解公式）②常数变易法典型的一阶微分方程求解方法（初等积分法）00:01:13小结作业

P3703（4，7）,5（2，4，5）00:01:13下次课内容

期末总复习思考题1.求解微分方程2.方程是否为齐次方程?9.2一阶微分方程00:01:13思考题解答为所求解.9.2一阶微分方程1.求解微分方程解:00:01:13解:方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.9.2一阶微分方程2.方程是否为齐次方程?00:01:139.2一阶微分方程解:00:01:13例4

求解微分方程微分方程的通解为解，则xduudxdy+=00:01:13二、齐次微分方程（替换分离法）练习题一、求下列微分方程的通解:

1.0tansectansec22=+xdyyydxx；

2.0)()(=++-++dyeedxeeyyxxyx；

3.0)1(32=++xdxdyy.

二、

求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

1.xdxyydyxsincossincos=,40p==xy；

2.0sin)1(cos=++-ydyeydxx,40p==xy.

00:01:13练习题00:01:13五、

求下列齐次方程的通解:

1.0)(22=-+xydydxyx；

2.0)1(2)21(=-++dyyxedxeyxyx.

六、

求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:

1.1,02)3(022==+-=xyxydxdyxy；

2.,0)2()2(2222=-++-+dyxxyydxyxyx

11==xy.

练习题00:01:13七、求下列微分方程的通解:

1.xexyysincos-=+¢；

2.0)ln(ln=-+dyyxydxy；

3.02)6(2=+-ydxdyxy.

八、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

1.4,5cot2cos-==+=pxxyexydxdy；

2..0,132132==-+=xyyxxdxdy

练习题00:01:13练习题00:01:13十、

用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:

1.11+-=yxdxdy；

2.1cossin2sin)1(sin222+--+-+=¢xxxyxyy；

3.xyx