【新高考解析】炎德英才大联考长郡中学2021届高三模拟试卷(一)数学试题及详细解析

炎德·英才大联考长中学2021届三模拟试卷（一）数学试题注意事项：本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、单选题：共8题，每题分，共分在每题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求1.若数满z，中i为数单位，则z12i

C.

D.2.已集合0{0}

{

{6}

{x0}3.圆x

xy的心到直线y的离为，则aA.

3B.4

C.3

D.24.设a、是数，则是a”的A.充而不必要条件C.充必要条件

B.必而不充分条件D.既充也不必要条件5.某科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为6米高为9米当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，的光线与底面夹角为，四棱锥顶点的影子到方体下底面最近顶点的距离为米，则图书馆顶部的面积大约为（）方米（注：21.4，，23315.2）A.990B.890C.790D.6906.已非空集合，满以下两个条件A{1,2,3,4,5}，）的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是B中元素则序集合对(A,)的个数为A.4B.6C.8D.16-1-

007.已实数，，cR，足

lnaeebc

，b，ab，c的小关系为A.a

B.a

C.

D.8.已中，AC，M在段AC上A，位置运动，现沿BM进翻折，使得线段AB上在一点N，足CN面；NB

恒成立，则实数

的最大值为A.1B.3

C.2D.

32二、多选题：共4题，每小题分，共分全选对的得5分，部分选对的得2分有选错的得0分9．为了了解市民对各种垃圾进分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续周有害垃圾错误分类情况进行了调.经理绘制了如图所示的害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周表有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）根统计图分析下列结论正确的是A.当x时有害垃圾错误分类的重量加速增长B.x[2,4)时害垃圾错误分类的重量匀速增长C.x[4,6)时害垃圾错误分类的重量相对于当x时长了30%D.当x时害垃圾错误分类的重量相对于当x时减少了0.610.如平面向量，b，那么下列结论中正确的是A.bC.与夹角为30

B.//D.在b向上的投影为2．如图，某校测绘兴趣小组为量河对岸直塔AB(A为顶，B为底）的高度，选取与在一水平面内的两点C与DB，C，D不同一直线上得CD．兴趣小组利用测仪可测得的角有：ACB，ACD，，ADB，ADCBDC，根据下列各组中的测量数据可计算出塔的度的是A．，ACB，，BDCCs，ACB，ACDADC

Bs，ACB，BCD，D．，，BCD，12．学中的很多符号具有简洁对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的号，我们把形状类似的曲线称为曲”．在平面直角坐标系xOy中把到定点(，F(a距之积等于a

(的点的轨迹称“线已知点(x,y)是曲”C上一点，列说法中正确的有A．曲线关原点O中对称C“曲线”C满足PF的P有个-2-

aB≤y2D．PO的大值为2a

第ⅠI卷三、填空题：本题共4小题，每小题，共分13．

1

的展开式中，常数项等于．14．知x是数fx)sinxx(0)的称轴，则f(x)的称中心为．15．义函数f()[x]]，中[x]表不超过的最大整数，例如：，[[2]．当x)(n

*

)时fx)的域．集合A中素的个数为，

aii

的值为．16.若于x的程

axe

ax)0(a0)有解，则正数的取值范围是

.四、解答题：本题共6小题，共分解答应写出文字说明、证明程或演算步.17．△内角A,C的边分别为a,c，知向量m,sin),nbAsin)满足/（）;2）若cb，18.已等差数列

的前和为，满足aS.（）数列

的通项公式（）数列cos

，求数列项T.-3-

19.如1，在等边△中点D、分为边ABAC上动点且满足DE//BC，为MC的点

DE

点（）EN//平MBD时求值（）探:随着的化，二面角MD的小是否改?如是，请说明理如不是，请求出二面角BMD的正弦值大.20.已函数fx)(1)a).x（）论函数f()的调性；（）f(x在(1,恒立，求整数a的最大.-4-

21.已椭圆:

y1a的上顶点到右顶点的距离为7，离心率为，椭圆C的焦点b2F，不与x轴合的直线MN与圆相于M，点，过点M作线m:的垂线ME，为足（）椭圆C的准方程；（）①已知直线EN过点P，定点的标；②点为坐标原点，求△面的最大.22.某子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有个子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，每个电子元件能否正常工作相互独.若统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统可正常工作，否则就需维.（），p

时，若该电子产品由3个统G组，每个系统的维修所需费用为500元，设该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求分布列与数学期望（）提高系统常工作的概率，在系统内增加两个功能完一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p且新增元件后有超过一半的电子元件正工作，则系统以正常工作，问满足什么条件时，可以提高整个系统G正常工作概?-5-

长郡中学2021届高三模拟卷（一）数学案一、选择题（本大题共小，小题5分共40分题号答案

1B

2C

3A

4D

5C

6C

7D

8A1.【案B解析】令bi(,)，.由a))a知2.【案C解析】

b

，故z2i，因为00所以PC.3.【案A【解析】圆xxy可为xy，圆心为(1,4).由圆心到直线的距离公式得：

aa2

：6a，即a故A.4.【案D【解析】由a不推a，如，b而a|即a或，以也不能推出，所以是a

的既不充分也不必要条件，故5案】C解析】如图，根据题意得：PSO，AB26所以C2，，故在△中设，PS，30，所以

SP

，即：900

x

，解得x．在正四棱锥中，，AB，取BC点，接EP，

，所以EO由正四棱锥的性质得△

为直角三角形，故|

PO

|

233，所以|233，-6-

所以正四棱锥ABCD的面积为

eq\o\ac(△,)PBC

15.226790.4790．选．6案】【解析，选C7案】D【析】首先因为8案】A【析】

lna，在减故，选D．eea易知要满足CN面ABM有个极限状态，第一是BM为的平分线时，此时NB第二是点M与点重时，此时；则实数的大值为，故选A．二、选择题（每题分共20全部选对的得分，有选错的得0分部分选对的得2分题号答案

9AB

10AB

11ACD

12ABD9.【案AB解本题考查统计图的应.由统计图可知，第2周长数量第1增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项正当[2,4)时图象是线段，所以是匀增长，所以选项正确当时增长数量比当[2,4时长数量要少，所以是减少，所以选项错;当时共增长2.4吨，x时增长吨所以减少了.8吨所以选项D错.故选AB.10.【答案AB[解析因为b，所以.在A中，由，得ba，A正;在中由，得a//b故B正;在C中由b，可得a与的角1C错;在D中a方上的投影为

(2,(

5故D误故选AB.【答案ACD[解析解一个三角形，需要知道个条件，且至少一个为边长。A.在中，已知s,BDC可以解这个三角形得到BC，再利用ACB、BC解角ABC得AB的;B.中已知s,BCD，无法出此三角形，在中，已知,ACD，法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔A的度C.中已知s,，可以解ACD得，利用ACB,解角得到AB的;D.如，点作，连接AE.-7-

112110112110由于ACB

CE,cos

，所以ACEBCD，所可以求出的小，在中已知ACDADC,可求出AC，利用ACBAC直角得到AB的值故选ACD.12.【答案ABD解析对A，设动点C()由题意可得的迹方程为x

y

(x)

y

，把(x)关原点对称的点()代轨迹方程，显然成立；对B，为P

PF

1PFPFF・y．又PF・

，所以a

sinPFa，即0

aaasinPF，y222

．故B正；对C，PFPF，PF的垂线即y轴．故此时代入(x(x)y

，可得，P，有一个，故C错；对D，为POFcosPOF，OP2OP|

OP|OFPF2|

，因为OFOF,PF

，故2|OP|

PFPF

．即OP212

・，所以2212

．又

FF，当且仅,F共时取等号．故2OP

PF12

)，即|

a

，解得|OP，正．故选ABD-8-

,[1,2)，所以x[x],[1,2)，所以x[x]三、填空题（本大题共小，小题5分共20分题号

13141516答案

160

(

,0),(kZ)

13.【答案160【解析】(2x

1x

)

的展开项的形式是Cr)

(

1x

)

r

x

若为常数项，可得r=3，故常数项为160.14.【答案】

，kZ.解析】f(x)(f'()x对称轴处取最大值或是最小值，该点导数为022f)a42fx)xcos2

)当x

，

kZ

时，

x

，Z称中心为

，Z15．答案】【解析∵[x]

表示不超过的大整数，

∴当x[0,nn

时，[]

，

nxn)

(nxx[)∴[[]]

在各区间内的元素个数为，，，…，

n

，∴

(1n

，∴

1120192()∴2()2(1)(nnii1010iii

．16．答案】[1,【解】因

)

ax)，即)

[ln()

有解，由

e

，当且仅当时可知，ln()

在区间(0,

内有解，所以

在区间

内有解，即

在区间

内有解，所以

a

．-9-

四、解答题（共70分解答应出文字说明，证明过程或演算步骤）17析（）因为m，以c)(sinAsinC)sin(b)，由正弦定理得(c)()(b)，C

（）正弦定理有：sin3sinBA即

22

sinA

2232sin()sin即AcosA2322sin(A)3(0,

))3

7即412

sin

3

4

)

62418析（）

公差为

，依题意得

5a)d

2，解得1d

，所以

an

.（）

，

Ta))

)

)4(1)

.19.【解析】(1)证明取的中点为P，接DP，PN，因为，MP=BP，以NP//BC，又DE//BC，以，，，，四共面，又EN//面，，面平面MBD=DP所以EN//PD，NEDP平行四边形，所以NP//DE，，=，即

(2)取DE的点O，由平面MDE平面且MO⊥，所以MO⊥面，图立空间直角标系，不妨设BC=2，则-10-

(003，(

，，(，，所以3DB，设平面BMD的向量为m,,z)，则

3DB(1

，即

xzx3y

，令x3，3,，又平面EMD的向量(0,1,0)，所以cosm,n

，5即随着

值的变化，二面角BMD的小不变，且m,n

m,n

255

，所以二面角BMD的弦值为

25

.20.本考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想分类讨论思想，是一道综合题案见解析3析（）数f(x)

的定义域是x∵()lnx)aR)，f，x2当0时，f对x(0,成立，当a时由f得a，由f得，综上，当0时，f()在(0,单递增，当时，f(x)单调递减，在(a,单调递增；(x（）f(x得lnx(1)，lnx，axx

对(1,成立，xlnx令(x)，x

1)(xxlnx)xlnx((x

，令(x)xlnx，则

x，xx∵x，h，()在单递增，∵(3)，h4，故满当1时(x)，x时hx，，故g()在(1,)单调递减，在x,调增，故g(x

(x2)g()

，故ax，x，Z，a的大值是3．-11-

121.【解析】1c1y（）题意得，解得a，3，c，椭圆的标准方程为.243(2)①由知

F(，设直线MN程my，My

联立方程

43

，得

my，∴yy1

m，yym2m

，my又k

yy，线EN方为yx

(令，

yy

yy

yy

，5∴直线EN过点P.②由中

，又