智能矩阵超级学习系统配套与习题集3数一线性代数

第二篇线性代 第一章行列 知识模块60：行列式的概念和基本性质<标准文本 知识模块61：行列式的展开定理<标准文本 第二章矩 知识模块62：矩阵的概念和运算<标准文本 知识模块63：伴随矩阵<标准文本 知识模块64：可逆矩阵<标准文本 知识模块65：初等变换和初等矩阵<标准文本 知识模块66：矩阵的秩<标准文本 第三章向 知识模块67：向量的线性组合与线性表示、向量组等价<标准文本 知识模块68：向量组的线性相关与线性无关<标准文本 知识模块69：向量组的极大线性无关组与向量组的秩<标准文本 知识模块70：向量空间及其相关概念<标准文本 第四章线性方程 知识模块71:齐次线性方程组<标准文本 知识模块72:非齐次线性方程组<标准文本 知识模块73:公共解、同解<标准文本 第五章矩阵的特征值和特征向 知识模块74：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质<标准文本 知识模块75：相似矩阵及矩阵可相似对角化的充要条件<标准文本 知识模块76：实对称矩阵<标准文本 第六章二次 知识模块77：二次型的基本概念<标准文本 知识模块78：化二次型为标准形<标准文本 知识模块79：正定二次型<标准文本 第二性代第一知识模块60：行列式的概念和基<标准文本一、考频统二、考点提三、考点详(一)行列式的定D a12a aa2

11 12D3

a11a22a33a12a23a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 Da21

jj"

(1)(j12"jn)11

"n1 (2n (二)常用的特殊行列

iii

… 2n ########0

aa"11 # an ##%##$###$##0"0""00##%##$###$##0"0""00

0

a2n

(三)行列式的

a1n"

an. an ai a aj a

#a aj a ai an

an 行列式中某一行(列)元素有公因子k，可把k ######.###### kai kain######.###### an an 即 ai1 ai2ai2"ainain

" " ai"ai"##### aj" kai1 kai2aj"kain######an""xaa"aaxa"a【趁热打铁】计算nDnax"a###%#aaa"x a" x a 【解析】Dn x # a 1a[x(n1)a]#a x

1 xa"aax"a##%aa""" x x[x(n1)a](xa)n1知识模块60：行列式的概念和基<基本习题组 D

2，则D1 a21 a31

A. B. D.1D

21 2

"1 1

(aini

(a11)(a21)...(anx xyz

y x

0的充分必要条件是 xyzC.xy,z

xyzD.yz,x1123112322x2323152319x

A. B. C. D.10"00010"0001"000"000""""""0"

= 000"000"000"000" A.2nana2n B. C.2nan-a2n D.1.【答案】

知识模块60：行列式的概念和基<基本习题组标准解析D1

2(3)D12C.2.【答案】

11 D1

1 i

"11

i

3.【答案】x

1ai

y x

(xyz)1

=xyzxzyzyxyz04.【答案】

x y x

2223213500123190004

2

3 4(23x2)(4x2令(23x2)(4x20x2或x2B.10"00001"0000"""0"""""""Dn

2

4a3

"

00001"3"""""0000"0000" = (ni =2a3a4a"(ni

n 知识模块61：行列式的<标准文本一、考频统44二、考点提三、考点详(一)式和代数 ##"#n

a所在的第ij a1,j a1, " "

ai1,j ai1,j

ai1,jai1,j

aij an,j an,j 称(1)ijM为元素a的代数式，记为A，即A(1)ijM (二)行列式的展开定n"jnDna1jA1ja2jA2j"anjAnjakjAkj(j1,",n)k

" 【解析】按第一列展开

Da(1)11a b(1)n1b aa (1)n1b b 1

n1【评注】两线一星的

%%，%

%ai1Aj1ai2Aj2"ainAjn0(ij) a1iA1ja2iA2j"aniAnj0(ij)【【趁热打铁D481922列元素的代 式，则A412A42A44 .【解析A4ja4j的取值无关(j1,2,3,4)，A412A42A44A412A420A43 10

1000200020981201 2

2 2(724)62(三)常用的特殊行列

xn1" (x2x1)(x3x1)(x41"((x3x2)(x4x2"(x2"((xixj)AOACAOAB A A A(1)mnAB 知识模块61：行列式的3692463692468120356431.D22A42 B.C.D.

,A4j(j1,2,3,4)为D中第4行第j列元素的代 a100b10a100b100c100d B.(ab1)(cd1)adC.abcd D.abcdxy0"000xy"00""xy0"000xy"00"""""000"xyy00"0xA.xnC.xn(1)n

B.xn(1)n1D.xn若四阶行列式的第四行元素依次为1,11,6,1，第二行元素的代数 式依次为6,x,x2,x3，那么x( C. D.

已知n阶矩阵A "1,则A的所有元素的代 式之和等于 # 0" 1.【答案】

知识模块61：行列式的<基本习题组标准解析【解析A412A423A441iA412iA420iA433i3692369246812031203A.2.【答案】a1a100b100c100dB.3.【答案】

a 1(1)21(1) a(bcddb)cdabcdadabcdab(cd1)adcd(ab1)(cd1)xy0"00y00"000xy"00xy0"00Dnx#####0xy"00000"xy#####y00"0x000"xyxx(n1)y(1)(n1)xn(1)n1B.1i(6)11ix(6)ix21ix3解之x11x22x35.【答案】(A11A12"A1n)(A21A22"A2n)"(An1An,2"An,n11" 11" 11" 1"1 1"1"01" # # ## 00"

00" 11"第二知识模块62：矩阵的概<标准文本一、考频统二、考点提由mn个数aij(i1,,"mj1,"n排成m行n列，并括以圆括弧的数 a1n a 2n # mn(aij)mn．当mnA称为n阶矩阵或者n所有元素都是0的矩阵称为零矩阵，记为O若两个矩阵Aaij)mnBbij)mn是同型矩阵，且各对应元素也相等，即aijbij(i1"m;j1,"n，则称矩阵AB相等，记AB(二)矩阵的线性运AB(aijbij)mnkA(kaij)mn(三)矩阵的乘 a1n b1s a bA 2n，B 2s

# mn n nsABAB(记作Ccij)是一个msncijai1b1jai2b2j"ainbnjaikk即矩阵CAB的第ij列元素cijA的第inBjn个元素分结合律AB)CA(BCkABkA)BA(kB，其中k左分配律CA+B)CACB右分配律AB)CAC矩阵的乘法不满换律：ABBA推出BC．a2 B b2 bn，计ABBA

#an【解析 a1b1a1b2 a a aAB2 b2 2 2n# #a a a abn n na1

nn BA ba2abab"ab n# 1 2 na anA是nkAA的kAkAkAAAkA0E a1b3 a1Aa a aba b a2 3 3 33 33Anln1A，其中lTTabababab1 2 3 i【趁热打铁】已知1 3,

31AT,其中T是3 An 【解析AnT)(T)"(TT(T)(T)"(T 1 3n1T3n1 2 3313 313 AP1PAnP1nPdiag("为对角阵ndiag(nn"n AaEB，则

An(aEB)nC0B0(aE)nC1B(aE)n1"CnBn(aE O O若A ，则An C(四)矩阵的转

CnAaij)mATaji)nnm(AB)TAT(AB)TBT A AT

(kA)TkATk为任意实数(AT)T若A 2，则AT 3 4 4(五)方阵的行列(1)An (2)ABA (3)AT知识模块62：矩阵的概<基本习题组设A和B均为nn矩阵,则必有 ABA B.ABAB

AB1A12设n维行向量1"0,1AETBE2TEn2 D.E 0

设A ，B 0

AP，其中P为三阶可逆矩阵，则 2 0

0 B. 0 3 0

0 设A(1,2,3),B(1,1,1)，则(ATB)2010 1 122010

22009

3 31123 2

200922

3 3 设A和B都是n阶方阵,下列正确的是 (AB)2A22AB B.(A+B)1A1C.若AB0,则A0或B D.(AB)TAT知识模块62：矩阵的概<基本习题组标准解析【答案】AB【答案】

ABBABAT12【答案】

ABETE2TET2T2TET2TTEBP1AP,B2004P1A2004P 0又因为A2004(A2)1002E,所以B20042A2E2A2 0 A.4.【答案】故

(ATB)2ATBATBAT(BAT)B=2ATB(ATB)201022009AT22009

1 1 2【答案】

3

0,故0

AB

AB

A0B0<标准文本一、考频统444444二、考点提三、考点详(一)伴随矩阵的定A"A""AA""A## A(A)T

A A n nn nn(二)伴随矩阵的性nAA*之间有如下的关系:AAAA|A|EAAn1(kA)kn1A(AB)BA(AT)(A)T(A)

A b b 若A ，则

a

0【趁热打铁ABABA2BA8EAA为的伴随矩阵，求|B|【解析ABA2BA8EAAAABAA2ABAA8AAABA2ABA8AEA2，则上式化简得AE)B4E，两边取行列式AEB43.

1

EA

04 B16知识知识模块63：伴<基本习题组设A是n阶可逆矩阵，则(A)等于 A. B. C.(1)n D.(1)n1设A是n阶可逆矩阵，且A2，则(A)等于 A.2n2 B.2n1 C.2n D.2n1 AAB均为2阶矩阵，A的伴随矩阵为

分别为A,B的伴随矩阵.若A2,B3则分块矩阵 3B* 2B*2 3A*

2A* 设A(a 满足A*AT，a,a,a为3个相等的正数，则它们为 3 3

C. 3A是3Aa

22

a 0

32

0000

a00

0aa

a<基本习题组标准解析1.【答案】

AEAA1A故选D.

A1

A(1)n1A1

(1)n1A

A1

A

An1 另一方面，(A)11A111A AAAA联立①②两式可得A)A)1故选A.

An2A

AB236 A A A 31B 2BO O 61 O O故选B. a31【解析】由于AAT，即 A a

Aijaij(i,j1,2,3)

33 33AATAn1

A1；(A0).A 列式的降阶定理可知，Aa2a2a2，而题意告诉我们a a05.【答案】

333

AE a13 ；A a ；a a23 Aa 33 a12 因此，有 Aa

a 12 22 22 aaaA133232 从而有A a，故选22 a 032 <标准文本一、考频统44444二、考点提三、考点详(一)可逆矩阵的定逆矩阵，记为A1.(二)可逆矩阵的充要条nA可逆的充分必要条件是其行列式|A|0AA1|A

A* 2 【趁热打铁】设矩阵A ，判定矩阵A 【解析A

20A 1 1A1 A* 1|A 1 2（三）可逆矩阵的A为可逆矩阵，则A1)1也可逆，且A1)1A A为可逆矩阵，数0，则A可逆，且(

AABAB可逆，且AB)1B1A1AAT也可逆，且AT)1A1)T1

A|AAAO A

O A B1 B B1， O

O 0 0【趁热打铁】设A ，E为四阶单位矩阵， 0 B(EA)1(EA)则(EB)1 【解析】先求出(ΕB)1BEA)1(EA (EB)1E(EA)1(E (EA)1(EA)(EA)1(E 2(EA)1－１1(E 0 0 0 2 0 0 知识模块64：可<基本习题组设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，满足A30，则 EA不可逆，EA不可逆 B.EA不可逆，EA可逆C.EA可逆，EA可逆 D.EA可逆，EA不可逆n维向量(a,"a)T,a0,E为n阶单位矩阵,矩阵AETBE1T,其中A的逆矩阵为B,则 a2

D. 0

BA6ABAA

1/ 1/

，则B 0

0 1 0 0 3 1 0 0 0

1 0 0 2 设矩阵A ，且满足B(EA)1(EA)，则(EB)1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 X

1

2AAnn,n11 1 k 1 阵，1,2为1n矩阵，则实数k的值等于 A. B. 11 1 1 11A1 【答案】

知识模块64<基本习题组标准解析(EA)(EAA2)EA3E(EA)(EAA2EA3E；由逆矩阵的定义可知，EAEA可逆.故选C.ABE，且T2a2AB(ET)(E1T)ET1T2aT

1

TO，从而有

12a a0，所以a3.【答案】 0A1BA6ABAA1A1B6EB；于是，有(A1E) 0B6(A1E)1

0

0 故选A.

6 EBEEA)1(E(EA)1(EA)(EA)1(EA)(EA)12E

(AE) 0 故选22

XX1 1

0

1 k 1 A1A212Ak1 A1 由上式的第二个等式，有2kA1 k11(A1A)1kA11 11 k1A11

1 知识模块65：初等变换和初等<标准文本一、考频统44444444二、考点提三、考点详(一)矩阵初等变换的定把矩阵某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去.(二)初等矩Eij是由单位矩阵第i,jEi(c是由单位矩阵第i行(或列)乘cc0初等倍加矩阵EijEij(c是由单位矩阵第i行乘cjj列乘c加到第iEij1，Ei(c)c，Eij(c)E1E，E1(c)

1，E1(c)E(c)

Ei(c iEijTEij，ET(c)E(c)，ET(c)Eji(c) iAE1E2"Es 1 1 【趁热打铁】设 0A 0 6，求矩阵A 1 3【解析B

9

EAE(1)B AE1BE(1)1EBE 2 6E(1) 2 3 2(三)用初等变换求矩阵的对矩阵AEAE，则AEEAA1.这是因 A1[A|E][E|(四)矩阵的等C知识模块65：初等变换和初等<基本习题组a13a12011.Aaa，B a，P10 23 21 a a a 0 33 31 02P 0，则必有 2 1C.B

B.BD.BAP2 已知A ，则

1 4 1 6 2 6 2 1 1 6 2

41 1 6 A是3A的第1列与第2BB的第2列加到第3列得C1 1 0010001 C. 0 101 001 1 .100 001 a14 1 a a 0已知A 24,B 21,P a a 0 34 31 a44 a41 0 0 0 P A 0 1

等于 1A. B.P C.PP D.P1 1 设A为n(n2)阶可逆矩阵，交换矩阵A的第1行与第2行得B，A,B分别为A，B的伴 A在第1列与第2列得到A在第1行与第2行得到【答案】

知识模块65：初等变换和初等<基本习题组标准解析阵，由“行左列右”性质，可知D是正确的.D.2.【答案】 1 0 0【解析】(A:E) 0 0 1 1 0 0 0 1

1 1 2 1A1

1 3 3 C.B的第2列加到第3列得C，BE321)C，AQC， QEE(1)

E

0 1 1 21 1 0 1【解析】因交换A2,3两列并交换A第1,4两列后可行到B，由初等方阵的作用知BAPPB1APP)1P1P1A1PPA12 2 1C.5.【答案】(EA)BBA(E) B A的第1列与第2列得到<标准文本一、考频统4二、考点提三、考点详(一)k阶子ij矩阵A(a 的任意k个行和任意k个列的交点上的k2个元素按原顺序排成ij1ai ai ai1aa1 1aai i

"ai2 2 2

A的kai

ai

k k k(二)矩阵的记为r(A)r，即非零子式的最高阶数. 【趁热打铁】设A 3，已知r(A)=1，求k 【解析】因为r(A)=1，由定义知A的所有2阶子式全为零，于是

0 3 所以k1，将k1代入得到A 3，经验证A的所有2阶子式全为零，存 3 1阶子式不为零，即此时rA)1kr(A)r(AT)A为nrAnr(kA)r(A)，k0r(AB)r(A)r(B)

A0Ar(AB)r(A),r(AB)r(B)) r(A)

r(A)r(A)nr(A)nr(ATA)r(A)<基本习题组设(1,0,1,2)T,(0,1,0,2)，A，则r(A) 1已知A

,r(A)3,则a,b的取值为 b2 a4,bC.a4,b

a4,bD.a4,b设A为n阶矩阵，且A2A，E为n阶单位矩阵，若r(A)r，则r(AE) D.n设A为mn,B为nm矩阵,E为m阶单位矩阵,若ABE,则 r(A)m,r(B)C.r(A)n,r(B)

r(A)m,r(B)D.r(A)n,r(B)设A为mn矩阵，C是n阶可逆矩阵，r(A)r，ACB，且r(B)r1，则 rC.r

r知识模块66：矩<基本习题组标准解析【答案】

2

2【解析】A0 2 0 0 0 2 4 r(A)B.

1

1【解析】A b

a b a4 arA3,所以

b ,即bD.3.【答案】A2A,AAEOrArAE)EEAA,nr(E)r(EAA)rAErrArAE)n,rAE)nC.4.【答案】ABE,rAB)r(E)rABrA)mrAB)r(B)A.5.【答案】【解析】由于C是nrArACB,rr(A)r(AC)r(B)第三知识模 67：向量的线性组合与线性表示、向量组等<标准文本一、考频统4二、考点提三、考点详(一)n个数a1a2"an构成的有序数组，称为一个n元向量(也称n维向量)，记作(a1a2"anai称为的第ia1a2 (a,a"a

称为列向#n

(二)向量(三)向量组的线性组给定向量组1,2,",m，对于任何一组实数k1k2,"kmmkiik11k22kmm称为向量组1,2,",m的一个线性组k1k2"km称i(四)向量的线性表给定向量组1,2,",m和向量，如果存在一组数k1k2"km，k11k22"kmm，则称向量能由向量组1,2,",m线性表示．能由1,2,",m存在k1k2"km，使k11k22"kmm成方程组(1,2,",mx有A(1,2,",mB(1,2,",mab为何值，能由1,2,3线性表示． 1【解析B(,,)

a b a 1 1 a 1 1 1 a 0 能由1,2,3线性表示．a0，b为任意值A(1,2,3的秩都不等于矩阵B(1,2,3的秩此时不能由1,2,3线性表示(五)向量组等设有两个向量组(I)：1,2,",m及(II)1,2"l，若向量组(I)中的每个向量都能由向知识模 67：向量的线性组合与线性表示、向量组等<基本习题组设向量组1,2,3)T1,1,1)T13,t)Tkk,使kk1立,则t

D.

1 2设向量(1,1,5),1(1,2,3)，2(0,1,4),3(2,3,6)，则下述命题正确的是 可以由1,2,3不可以由1,2,3可以由1,2,3线性表示，且表示法唯不能确定是否能由1,2,3线性设向量可由向量组1,2,",m线性表示，但不能由向量组(I)1,2,",m1线性表示，记向量(II)1,2,",m1,，则（ am不能由(I)线性表示，也不能由(II)am不能由(I)线性表示，但能由(II)am可由(I)线性表示，也可由(II)am可由(I)线性表示，但不能由(II)11,0,1)T20,1,1)T31,3,5)T11,1,1)T21,2,3)T3(3,4,a)T线性表示，则a A,B,C均为n阶矩阵若ABC，且B可逆，则 知识模 67：向量的线性组合与线性表示、向量组等<基本习题组标准解析【解析】由题设kk

可得3

1 1 2 t 13 2 k1k22kk3解得t C.2.【答案】 123 123 解得

346 C.3.【答案】可由向量组1,2,",m线性表示,1122"m1m1不能由向量组1,2,",m1线性表示,故有m0因此mm

(1122"m1m1即向量m可由向量组1,2,",m1,又设向量m可由向量组1,2,",m1线性表示,ml11l22"(1ml1)1(2ml2)2"(m1mlm1所以向量m不能由向量组1,2,",m1线性表示故选B.4.【答案】 a

1 2 0故选C.5.【答案】ACA(1,2,",nC(1,2,",n b1n(,,",) #(,,",

b nn

【解析】,, 0 所以【解析】,, 0 B.<标准文本一、考频统444444444444二、考点提三、考点详(一)向量组的线性相关和线性无对于向量组a1a2"amk1k2,"kmk1a1k2a2"kmam则称此向量组a1a2"am对于向量组a1a2"am，若k1a1k2a2kmam0当且k1k2km0时才成立，则称向量组a1a2"am线性无关k1k2kaka"ka0a,a"a

01 2 m m# kn(""Ax0有非零解(唯一的零解)rAm(rA)m(二)向量组的线性相关性若向量组a1a2"am若向量组a1,a2"am线性无关，则它的向量组必线性无关a1若aa"a线性无关，则

,a2

am

线性无关 12 ma1若

,a2

am

线性相关，则aa"a线性相关 12 m向量组a1a2"am(m2线性相关(无关)的充分必要条件是其中至少有一个(任一个)向量(均不)可由其余m1个向量线性表示．若向量组a1a2"am线性无关，而向量组a1a2"am线性相关，则可由a1a2"am线性表示，且表出法唯一【趁热打铁】已知a1a2,a3线性无关，证明2a13a2a2a3a1a2a3线性无【解析】设k1(2a13a2k2a2a3k3a1a2a30,(2k1k3)a1(3k1k2k3)a2(k2k3)a3由已知条件a1a2,a3线性无关2k1k313kkk1 kk

系数行列式 110,则齐次线性方程组只有零解，即k1k2k3 1故2a13a2a2a3a1a2a3线性无关<基本习题组下列向量组中a,b,c,d,e,f均是常数，则下列向量组线性无关的是( A.1=(1,-1,0,2)T,2=(0,1,-1,1)T,3(0,0,0,0)T B.=(a,b,c)T,(b,c,d)T,(c,d,a)T,(d, C.=(a,1,b,0,0)T,(c,0,d,1,0)T,(e,0,f D.(1,2,1,5)T,(1,2,3,6)T,(1,2,5,7)T,(0,0, 设nI:1,2,",sII12,…tI中的每个向量都不能由IIII中的每个向量也不能由IIII1,2,",s12,t的线性关系是()A.线性相 As个n维向量1,2,",s线性无关，则加入k个n12"k后的向量Bs个n维向量1,2,",s线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然Cs个n维向量1,2,",s线性相关，则加入k个n12"k后的向量组仍然Ds个n维向量1,2,",s设向量组1,2,",s1线性相关,向量组2,",s线性无关,则 1不能由2,",s1线性表示s不能由1,",s1线性表1能由2,",s1线性表示s不能由1,",s1线性表1不能由2,",s1线性表示s能由1,",s1线性表1能由2,",s1线性表示s能由1,",s1线性表向量组1,2,",m线性无关的充分必要条件是 向量组1,2,",m线性无存在一组不全为零的k1k2,"km，使得k11k22kmm向量组1,2,",m向量组1,2,",m【答案】

知识模块68：向量组的线性相关与线性<基本习题组标准解析C中向量,,1,3个分量，得到缩短的向量组′=(10,0)T ′0,1,0)T′0,0,1)T是线性无关的基本向量，添加分量成,,

【答案】1【解析】DI:(1,0,0,0)T,(0,10,0)TII:(0,0,1,0)T1 20,0,0,1)TI,IIIII2I:(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)T,(0,0,1,0)T;II:(1,1,0,1)T,(0,0,0,1)T 故选C.【答案】BC正确；由“整体无关，则部分无关”知D正确；故选A.【答案】【解析】由于向量组2 线性无关，则向量组2,",s1线性无关，又因为向量1,2,",s1线性相关，所以1能由2,",s1线性表示，s不能由1,",s1线性表示，运假设s能由1,",s1线性表示，则存在常数12"s1使得s11"(1)由于1能由2,",s1k1k2,"ks2,1k12"ks2s1s1k12"ks2s122"s1s1k122"1ks2s1s1这与向量组2,",s线性无关 .故假设不成立，即s不能由1,",s1线性表示.故选B.【答案】【解析】A不对，因为1,2,",m,线性无关可以保证1,2,",m1,2,",m线性无关不能保证1,2,",m,B不对，因为1,2,",mk1k2"kmk11k22"kmm0，但存在一组不全为零的常数k1k2"km使得k11k22"kmm不能保证1,2,",m线性无关C不对，向量组1,2,",m1(1,0)T,2知识模块69：向量组的极大线性无关组与向量组<标准文本一、考频统44444二、考点提三、考点详(一)向量组的极大线性无关组和向量组设向量组1,2,",s的部分组i1,i2,",iri1,i2,",ir线性无关1,2,",s(或(2)1,2,",s中的其余向量均可由i1,i2,",ir线性表示，)则称向量组i1,i2,",ir为向量组1,2,",s的一个极大线性无关组．向量组1,2,",s的极大线性无关组i1,i2,",ir中所包含向量的个数r1,2,",s的秩，记为r(1,2,",s)r将所给的向量按列排成列向量组(不管题目给出的向量是行向量还是列向量都按列来排)构A1,2,",s)AB(1,2",s)，则矩阵AB的两个列向量组具有相同的线性相关性，即r(1,2",s)r(1,2"s) i 若," 为1,2"s的一个极大线性无关组，则i1,i2 i 1,2",s的一个极大线性无关lk1i1k2i2krir，则lk1i1k2i2krir【趁热打铁】设向量组111,2,4,20,3,12,33,04122,0,52,1,5,10，求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用该【解析】将所给向量组按列来排构成矩阵A，对其进行初等行变换，得 AT,T,T,T,T 2

2 3 1 0 0 0101

211 0 0 1,2,3,4,5r1,2,3,4,51,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组3312,521r1,2,3,4,51,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组3312,5212(二)向量组的秩的性若向量组1,2"t可由向量组1,2,",s线性表示，(12"t)(1,2,",s)Kst(K为系数构成的矩阵r(12"t)r(1,2,",s若向量组12"s可由向量组1,2,",s线性表示12"s线性无关，r(1,2,",s)s，且向量组1,2,",s可由向量组12"s线性表示若向量组12"t可由1,2,",s线性表示，且ts12"t线性相12"t可由1,2,",s12"t线性无关,则ts．(简知识模块69：向量组的极大线性无关组与向量组<基本习题组设有向量组11,1,2,4,203,1,2,33,07,14,412252,1,5,10,则该向量组的极大无关组为 A.1,2C.1,2

B.1,2D.1,2,4若向量组12"s的秩为r，则 r设1,2,",m12"m(m2)为两个n维向量组, " ""

A.r1,2,",mr1,2,"mB.r1,2,",mr1,2"mC.r1,2,",mr1,2"mD设1,2,",s和1,2,"t为两个n维向量组,且r(1,2,",s)，r(1,2"t)的都为r，则（ r(1,",s,1,",t)当1,2,",s可由向12,"t线性表示12,"t也可1,2,",s线性表st已知两个n1,2,",s1,2,",s,s1,",st.若向量组的秩(Ⅰ)=p，r(Ⅱ)=q，则下列条件中不能判定(Ⅰ)是(Ⅱ)的极大线性无关组的是 C.pq，(Ⅰ)线性无 D.pq知识模块69：向量组的极大线性无关组与向量组<基本习题组标准解析1.【答案】 2 2

AT,T,T,T,T 1,2,3,4,5

10 为1,2,41,3,41,5,4.故选B.【解析】向量组12"sr，说明12"s的线性无关部分组所包含向量的rr+1个向量必定线性相关，故（D）12"s线性无关，则r=s，（A）不成立；向量组12"s的秩r，只要求r个线性无关的部分组，并要求任意r个向量线性无关，更不要求任意小于r个向量的部分组都线性无关，因此（B）,（C） 1"1 1"11,2,",m1,2,"m 0"1=1,2,"m

1 1m1m10，故Cr1,2,",mr12"m【答案】【解析】若令1=(1,0),10,1，则（ABD）显然不成立，只有（C）为正确【答案】知识模块70：向量空间及其相关<标准文本一、考频统444二、考点提三、考点详(一)向量的内设有n维向xxx"x)Tyyy"y)T

(x,y)xTyyTxxyxy"x1 2 nx的长度

(x, n当x(x, nxxx0x

当xy0xy正(二)施密特方设1,2,",r是一组线性无关的向量，可用下述方法把1,2,",r11

(2,1) (, (r,1)(r,2)"(r,r1) (,) (, , r r r1,2"r线性无关，且两两正交，与1,2,",r1,2"r

1,

2

r 即得到一组与原向量组等价的两两正交的单位向量1,2,",r，这个方法称为线性无关向量组(三)向量空间的基本设Vn维向量的集合，如果V非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即V中两个向量之和及数乘V中向量所得到的向量仍属于V，则称V为向量空间．向量空间V向量空间V1,2,",nn维向量空间V的一个基，对任一元素V，总有且仅有一组数x1x2"xnx11x22"xnnx1x2"xn称为在基1,2,",n下的坐标设1,2,",n12"n都是n维向量空间V的基， 11 21 n1a 11 21 n1aa"a 12 22 n2 na1n1a2n2"annn即 a1n a(,")(,,",) 2n n # a (1,2,",n)C

nn称C为基1,2,",n1,2"n设V在基1,2,",n下的坐标为x1x2"xn，在基12"n下的坐标y1,y2"yn，且(12"n)(1,2,",n)CC是从基1,2,",n到12"n的过渡矩阵)，x1 y1 y1 x1 2C2 或2C12#

y

#x

n n n n1,i设1

,",

，若(i

j)

0,i

i,j1,"n，则称,,",是一组标 【趁热打铁】R3中的向量在基1,2,1)T0,1,1)T,3, x1x2x3在基123下的坐标为y1y2y3且y1x1x2x3,y2x1x2y3x1+2x3,则由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵C 【解析】因为由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为C，所(1,2,3)(1,2,3)C

yx.2 2yx.y x3 3y1x1x2 而由已知y yx+2x = 1 对比可得C= 0 2

2 2y 2x3 3知识模块70：向量空间及其相关<基本习题组 已知0,1,2T,1,0,3T,0,1,kT能构成R3中的一个基，则k kC.k

kD.k已知1,1,0T,0,1,1T,112T10,1T0,1,1T 1,1,4T为R3的两组基，则,,到,,的过渡矩阵P为 1 0 1

1 1

1 已知n维向量组1,2,",n1与i(i1,,"n1)1,2,",n1, 知识模块70：向量空间及其相关<基本习题组标准解析【答案】【解析】要构成基，则1,2,3线性无关，于是故选C.【解析】依题意1,2,31,2,3P

0k2 1 P,,1,,

1 1 4 1 1 01 1 1 2 1 2 1 3.【答案】【解析】两个向量相互正交一定是线性无关的，则1,2,",n1一定线性无关.故选B.知识模块71:齐次线性方<标准文本一、考频统475946755二、考点提三、考点详(一)线性方程组的三种表达形式、解与线性方程组的三种表达形一般形11 12 1n axax11 12 1n axax"axb21 22 2n

mnb1b2bm0b1,b2"bm不全为零时，称为非齐次线性方程矩阵形 a1n x1 b1 a x b设A 2n，x2，b2，则（4.1）可表为 xb # # # mn n m向量形a11 a12 a1n b1a b21，22，…，2n，b2 # # # # bm1mnm则（4.1）可表为x11x22xnnb解与通Ax0bx0Axb(二)线性方程组的克拉默(Cramer)j1,,",nDjDj列用方程组的常数列bn阶行列式（三）齐次线性方程组有非零解的条件及解的4.1Amn矩阵，Ax0有非零解（只有零解）的充要条件是rA)n（rA)n）.推论Annx0有非零解(只有零解)的充分必要条件是系数行列式|A|（|A|0【趁热打铁设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组ABx (A)当nm时仅有零解 (B)当nm时必有非零解(C)当mn时仅有零解 (D)当mn时必有非零解r(AB)min(r(A),r(B))mnrABmin(rAr(Bnm．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组ABx0必有非零解，故应选(D)．2.齐次线性方程组解的结构和通解的求法(1)解的性质①如果1，2是齐次线性方程组Ax0的解，则12也是它的解②如果Ax0的解，则对任意常数cc③如果1，2，…，tAx0的解，则其线性组合c11c22ctt也是它的解，其中c1c2，…，ct都是任意常数.齐次线性方程组的基础解系（解的极大线性无关组如果1.，2，…，t是齐次线性方Ax0的解向量，如果①1.，2，…，t线性无关；Ax0的任一解向量可由1.，2，…，t线性表示，则称1，2，…，t是方程组Ax04.2Amn矩阵，若rA)rnAx0通Ax0的基础解系，则齐次线性方程组Ax0的通解为k11k22"knr(A)nr(A)其中k1k2"knrA都是任意常数齐次线性方Ax0通解的求若rAnrAn，在每个阶梯上选出一列，剩下nrA列对应的变量就是自由变量．依次对一个自由变量赋值为1，其余自由变量赋值为0，代入阶梯形方程组中求解，得到nr(A)个线性无关的解，设为1,2,",nr(A)，即为基础解系，则Ax0的通解为xk11k22knrA)nrA)，其中k1k2"knrA)是任意常数【趁热打铁A

c

RA2kk

x0的通解是 1 2 1 2(A)

0

(B)

1

1

1(D)

0k211

1

1 a b c 基础解系中含有的向量的个数为2个，所以选择(D)． 知识模块71:齐次线性方<基本习题组要使

100

都是线性方程组Ax0的解，只要系数矩阵A为 11122

2 1 24

1 2 0 1 20 1 已知1,2,3,4是Ax0的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用( A.12,23,34,411234的等价向量组1,2,3,1234的等秩向量组1,2,3,12,12,34,4设A是秩为n1的n阶矩阵，1与2是方程组Ax0的两个不同的解向量，则Ax0的通 A.1 B. C.k12

D.k12 3成 x4, B.x2, C.x2,

6 D.x1,

5.A是54矩阵,A,,,，若1,1,2,1T，0,1,0,1TAx05. 础解系，则A的列向量组的极大线性无关组是 A. B.2 C.2 D.1,2,【答案】

知识模块71:齐次线性方<基本习题组标准解析项中满足题设条件只有A选项.【答案】【解析】因为122334410122334410，因此，即可排除A，D.B，由等价知1,2,3,4r1,2,3,4r1,2,3,44得到1,2,3,4线性无关.故选B.【答案】的基础解系由一个非零向量构成.11212中哪一个一定是非零向量呢？已知条件只是说1与2是两个不同的解，必有120.故选D.【答案】故选A.【答案】1,2nrA2rA)n2422，可得A的列向量组的极大线性无关组含有两个向量.排除 0,1,0,1TAx0的解，得0,即向量 1,1,2,1TAx0的解，得200，故11230，排

知识模块72:非齐次线性<标准文本一、考频统476946766二、考点提三、考点详定理 非齐次线性方程组Amnxb有解的充分必要条件是r(A)r(A,b)r.并且，rnrn【趁热打铁设向量组α13,33α21,1,α32,13,β,3，问取何值时，β可由α1α2α3线性表示，且表达式不唯一.【解析x1α1x2α2x3α3β， 3 3 x1xx 33x1x23x3121213

21当1当110(A,b)01#1111 1#1 1#1 2#3 0#0 此时rArA,b23,方程组有无穷多β可由α1α2α3线性表示，且表达式不①若ξ1ξ2Axbξ1ξ2Ax=2b③若ξ1ξ2Axbξ1ξ2Ax0④若ξAxb的解，若ηAx0ξηAxbAx0的基础解系，是Axb的一个特解，则非齐次线性方程组Axb的通解（或全部解）xk1ξ1k2ξ2"knrAξnrA其中k1k2"knrA为任意常数【趁热打铁】设1，2，34元非齐次线性方程组Axb3个解向量，且rA)3112,3,4)T230,1,2,3)TAxbAx0123AxbA(21(23))2A1A2A3021232,345)TAx0Ax0的基础解系（无关）.Axb(1,2,34)Tk(2,34,5)T（k为任意常数非齐次线性Axb通解的求对增广矩阵AAb)作初等行变换，化为阶梯rArAbAxb无解rArAbn，则方程组有唯一解，根据消元法得到方程组的唯一解为xk11k22knrAnrA，其中1,2,",nrAAx0的一组基础解系. 【趁热打铁】设线性方程组

有两个解(2,3,4)T axaxax1 2 3 2(1,1,1)T，则方程组的通解 因此有r(A)r(A)3.又由于在系数矩阵A中，存在2阶子式 130，故1rA2，所以rA2.从而Ax0的基础解系含有nrA1个解向量.由于2,34)T1,1,1)T1,2,3)TAx0Ax0 Axb的通解为(2,34)Tk(1,2,3)T（k为任意常数知识模块72:非齐次线性<基本习题组

11.设A , ，若方程组Ax有无穷多解，实数a为 0 D.

2xx7x2有解,则 x2x 已知四元非齐次方程组AxbrA31,2,3是它的三个解向量，且 (1,1,0,2)T，(1,0,1,3)T，则Ax k(1,1,0,2)T C.k(0,1,1,1)T D.k(1,1,0,2)Tk(1,0,1,3)T1x1x2xx

若线性方程组xxa有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 a1a2a3a4C.a1a2a3a4

a1a2a3a4D.a1a2a3a4已知方程组 a 3无解,则a 2 1 知识模块72:非齐次线性<基本习题组标准解析【答案】a10a10a001 0a00101a0 1a0 0 1aa200

.1a4rArA3，即aa20,a【答案】 1

1 1 2 1 1

该方程组有解10，解得1【答案】nr(A)431由题意知13Ax0的解,13(12)(23【答案】110a 2110a2011110a 2110a2011a3011.

aaa 4 4该方程组有解a1a2a3a40【答案】

1 a

3

11

a22a

a方程组无解a22a30a30,a<标准文本一、考频统二、考点提三、考点详(一)公共解与同解的定Ax0b1Bx0b2x0Axb1,Bxb2的公共【深度理解Ax0Bx0Ax联立Bx0Ax0Bx0中，再确定其通解表达式中任意常数应满足的条件，【可命题角度】已知两个方程组有公共解，求未知参数及公【趁热打铁线性方程组x12x2ax30x12x2x3a1ax4xa2x 解【解析】“两个方程有公共解就是两个方程联立起来的非齐次线性方程组有

x2xax 2x4x

x

x12x2x3a #0A a #0 (a1)(a #0 1 #a a1k01 1 0a2时，有唯一解，此时，有唯一公共解是1 <基本习题组 xx xxx则以下正确的是

A．方程组Ⅰ和Ⅱ没有公共 B．方程组Ⅰ和Ⅱ有唯一公共零C．方程组Ⅰ和Ⅱ有唯一公共非零 D．方程组Ⅰ和Ⅱ有无穷多公共

x1x2x3x2xax0与方程x2xxa1有唯一公共解,则a为 x4xa2x 设A与B均是n阶矩阵,且秩rArBn,则方程组Ax0与方程组Bx0() Ax0的解均是Bx0的解,rArBrArB,Ax0的解均Bx0Ax0Bx0同解,rArBrArB,Ax0Bx0同解．以上命题中正确的是 x12x23x3 xbxcxⅠ

2x3x5x和

Ⅱ2x1b2

xxax 同解,则a,b,c满足 A．a2,b1,cC．a1,b1,c

B．a2,b0,cD．a1,b0,c知识模块73:公共解、<基本习题组标准解析D【解析】联立方程组Ⅰ和Ⅱ 1 1 0 0

0 A 0

nrA1,基础解系是1,1,2,1T,从而有方程组Ⅰ和Ⅱ的公共【答案】1 0 0 1 0 a 0 a A 1 0 a2 0 1 a 1 a

a

a1a2方程组有唯一公共解,rArA3,解得a1a2．【答案】AxBx 因为r rArBn,即方程组Ax0与方程组Bx0有非零公共解BBx0的基础解系中解向量个数,nrAnrB,rArB命题(3)同解方程组，必有相同的解向量,nrAnrB,得rArB,故命题正【答案】【解析】因为方程组Ⅱ中方程的个数小于未知数的个数,故方程组Ⅱ必有无穷多解,由方程123A2352a0,a211a代入可知k1,1,1T是方程组Ⅰ的通解,k1,1,1T代入