平面向量数量积1：定义

平面向量数量积的物理背景及其含义一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨.直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来…结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功力成功.物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢?平面向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a与b，我们把数量lallblcos，叫做a与b的数量积(或内积)，其中e是a与b的夹角记法记作a-力，即a・b=lallblcose规定零向量与任一向量的数量积为0投影lalcose(lblcose)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积ab等于a的长度lal与b在a的方向上的投影lblcose的乘积两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量，a±b a・b=0.当a与b同向时，a•b=lallbl；当a与b反向时，a•b=—lallbl.特别地，a•a=a2=lal2或lal=\/03.la・blWlallbl.平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数A.交换律：a•b=ba.结合律：(Ad)•b=X(a•b)=a・(Ab).分配律：(a+b)・c=a-c+b-c.若lal=3，lbl=4,a，b的夹角为135°，则a-b=(B)A.—3-』2 B.—6月2C.6很 D.12［解析］Va-b=lallblcos135°=3X4X(一寺)=—6、/1已知lal=3，lbl=5，且〈a，b〉=45°，则向量a在向量b上的投影为(A)

A.C.4A.C.4D.5［解析］向量a在向量b上的投影为lahcosOnaxW^3^.3.给出以下命题:①a・0=0；②0a=0；30—AB=8A:④la・bl=lallbl；⑤若a/0,则对任一非零向量b有a•b^0；@a-b=0,则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.其中正确命题的序号是③⑦.［解析］本题考查数量积的概念及向量运算.上述7个命题中只有③⑦正确.对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0・a=0；对于②，应为0a=0；对于④，由数量积定义，有la-bl=lallbllcos0lWlallbl，这里3是a与b的夹角，只有0=0或0=n时，才有la・bl=lallbl；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a-b=0；对于⑥，由a-b=0可知a±b，即可以都非零.4.(2018-全国卷II理，4)已知向量a,b满足lal=1,a・b=—1,则a-(2a—b)=(B)A.4 B.3C.2 D.0［解析］a・(2a—b)=2a2—a・b=2lal2—a・b.,「lal=1，a・b=—1，「.原式=2X12+1=3.故选B.命题方向1 平面向量的数量积典例1已知lal=2,lbl=3,a与b的夹角为120°,试求：a-b；(a+b)-(a_b)；(2a-b)-(a+3b).［思路分析］根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可.［解析］(1)a・b=lal・lblcos120°=2X3X(一?)=—3.(a+b)・(a—b)=a2—a・b+a-b—b2=a2—b2=lal2—lbl2=4—9=—5.(2a—b)-(a+3b)=2a2+6a-b—a-b—3b2=2lal2+5a-b—3lbl2=2X4—5X3—3X9=—34.『规律总结』求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.

〔跟踪练习1〕已知lal=4,lbl=5，当(1)a〃b；(2)aXb；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.［解析］(1)'「a〃b,若a与b同向，则0=0°,.'.a•b=ailblcos0°=4X5=20；若a与b反向，则0=180°,:.a-b=lallblcos180°=4X5X(-1)=-20.当a±b时，0=90°,：.a・b=lallblcos90°=0.当a与b夹角为60°时，a-b=lallblcos60°=4X5x2=10.命题方向2 向量的投影典例2(1)若lal=4,a*b=6,求b在a方向上的投影；(2)已知lal=6,e为单位向量，当它们之间的夹角0分别等于60°,90°,120°时，求出a在e方向上的投影.［解析］(1)设a与b的夹角为a因为a・b=lallblcos0=6，且lal=4，3所以4lblcos0=6，所以b在a万向上的投影为lblcos0=2.(2)a在e方向上的投影为lalcos0.当0=60°时，a在e方向上的投影为lalcos60°=3；当0=90°时，a在e方向上的投影为lalcos90°=0；当0=120°时，a在e方向上的投影为lalcos120°=-3.『规律总结』求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可.〔跟踪练习2〕在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZABC=30°,D为BC的中点.求BA在CD方向上的投影；求(^在扇方向上的投影.所以所以CD=BD=ABcos30°=寸3.［解析］如图所示，连接AD.(1)因为D为BC的中点，AB=AC，所以ADXBC.又AB=2，ZABC=30°，所以CD=BD=ABcos30°=.'3.由图可知BA与CD的夹角为匕abc的补角

所以向量函与站的夹角为150°.因此扇在站方向上的投影为I扇lcos150°=2Xcos150°=一、•.,；3一>一、，、，，，I—，、，一 ，— 3(2)CD在&4万向上的投影为ICDIcos150°=*3cos150°=—3.命题方向3 利用向量的数量积解决有关模、夹角问题兀，、典例3(1)已知lal=0l=5，向重a、b夹角。=§，求la+bl.(2)已知a,b是两个非零向量，且lal=lbl=la—bl.求a与a+b的夹角.［思路分析］(1)先求ab再用la+bl与ab的联系求解.(2)根据题中所给等式求出向量a与a+b的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可.一一一 n25［解析］(1)a・b=lallblcos0=5X5Xcos3=".la+bl=;'(a+b)2=\'lal2+2a.b+lbl2=\\25+2X号+25=5茶.(2)Vlal=la—bl,lal2=la—bl2=lal2—2a-b+lbl2.又lal=lbl,.a-b=|lal2,又la+bl="寸(a+b)2=\'lal2+2a-b+lbl2=■'3lal,设a与a+b的夹角为仇I a-(a+b)a2+a-bal2+2al2-•../§则cos°=lalla+bl=aa+i=lal.后lal=三,n n又。£［0,n］,「.0=6，即a与a+b的夹角为g.『规律总结』1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：a=a-a=lal2或lal=%'a・a.la±bl=W’(a±b)2=\a2+b2±2a-b.ab2.向量夹角公式cos〈a,b〉=abj的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误.〔跟踪练习3〕(1)已知单位向量3e2的夹角为a,且cosa=1，若向量a=3e1—2e2,则lal=3—.(2)(2017全国卷I)已知向量a,b的夹角为60°,lal=2,lbl=1,Qa+2bl=2、.0_.［解析］(1)因为a2=(3g］—2e2)2=9—2X3X2Xcos汁4=9，所以lal=3.(2)la+2bl=\'a2+4a,b+4b2="顼(a+2b)2=\'22+4X2X1Xcos60°+4X12=.'12=2l/3.利用向量的数量积判断几何图形的形状典例4在AABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a・b=b・c=c•a,试判断AABC的形状.［思路分析］易知a+b+c=0,分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得ab、b•c、c-a,选取两个等式相减即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系.［解析］在^ABC中，易知AB+Bc+CA=0,即a+b+c=0,因此a+c=—b,a+b=—c,［(a+b)2=(—c)2,从而］、(a+c)2=(—b)2,两式相减可得b2+2a-b—c2—2a-c=c2—b2,则2b2+2(a・b—a・c)=2c2,因为a・b=c・a=a-c,所以2b2=2c2,即lbl=lcl.同理可得lal=lbl,故lABl=lBCl=lCAl,即△△&「是等边三角形.『规律总结』依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.〔跟踪练习4〕若O是^ABC所在平面内一点，且满足l(5B-(?Cl=loB+(?C-2oAl,则^ABC的形状为(B)A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形［解析］OB+OC—2OA=OB—OA+OC—OA=AB+AC,OB—OC=CB=AB—AC,于是iAb+Aci=iAb—Aci,所以iAb+Aci2=iAb—Aci2,即AB.Ac=0,从而ab±ac.故△ABC为直角三角形.混淆向量的模与实数的运算典例5已知lal=2,lbl=3,a与b的夹角为120°,求la+bl及la-bl的值.［错解］由题意，得a・b=lallblcos120°=—3.la+bl=\_02+2a・b+b2=\'22+2X(—3)+32=''7.,也2一万2| 5 5L..也一bl=卡=〒'L［错因分析］该解法错误地类比实数运算中的法则，实际上S—b2|=l(a+b)・(a—b)lWla+blla-bl.［思路分析］直接利用完全平方和(差)公式.［正解］由题意，得a・b=lallblcos120°=—3.la+bl='寸a2+2a・b+b2=*J22+2X(—3)+32=寸7,la—bl=-加2—2a•b+b2=君’22—2X(—3)+32=-《19.『规律总结』利用数量积求解模的问题，是数量积的重要应用，解决此类问题的方法是对向量进行平方，即利用公式：a・a=lal2，从而达到将向量转化为实数的目的.〔跟踪练习5〕已知向量a、b的夹角为120°,lal=lbl=1,c与a+b共线，贝ijla+cl的最小值为(D)TOC\o"1-5"\h\zA. 1 B. 2C 3 D吏C. 4 D. 2［解析］,/lal=lbl=1,c与a+b共线.:.a与c的夹角为60°或120°.当。=60°时la+cl='ja2+2a・c+c2=\'1+lcl+lcl2=".•..J(lcl+2)2+4，:la+clmin=1.当。=120°时，la+cl=Y‘1—lcl+lcl21,3(|c—2)2+4,：.la+cl.=幸min21.若a・c=b・c(c/0)，则(D)A.a=ba尹blal=lbla在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等［解析］设a与c的夹角为巧，b与c的夹角为％,,:a・c=b・c,：.lallclcosq=lbl・lclcos02,即lalcos^1=lblcos^2，故选D.下列命题正确的是(D)A.Ia・bl=lallbl B.a，/00lal+lbl/0C.ab=0Olall下列命题正确的是(D)A.Ia・bl=lallbl B.a，/00lal+lbl/0C.ab=0Olallbl=0 D.(a+b)•c=ac+b•c［解析］选项D是分配律，正确，A、B、C不正确.(2018-江西高安中学期末)在RtAABC中，匕。=90°,AC=4，则疝•AC=(A)A.16 B.-8C.8 D.-16—* —* .—* . —* —* —* . —* —* .—*. 一［解析］AB^AC=(AC+CB).AC=AC2+CBAC=lABl2=16.4.A.（山东高考）已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60°,则BDCD=（D）3—2a2C.「3D.2。2-J— > —* —* —* —* . —* 〜、、> —* —* .—* . —* —* —* —*［解析］在菱形ABCD中，BA=CD,BD=BA+BC,所以BD・CD=(BA+BC).CD=BA.CD1 3+BC.CD=a2+aXaXcos60°=a2+另2=羿2.5.已知lbl=5,a.b=12，则向量a与b方向上投影为一普.^2.a.b ab12［解析］.a在b万向上的投影为lalcosO，又cos0=ajbi，—alcos0=ml=g.A级基础巩固一、选择题1.已知^ABC中，AB=a,AC=b,若ab<0,则^ABC是(A)A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形［解析］由a.b<0易知〈a，b〉为钝角.2.若lal=4,lbl=2,a和b的夹角为30A.2则a在b方向上的投影为（C）B.舟C.2后D.4［解析］a在b方向上的投影Falcosa，b=4Xcos30°=^'3，故选C.3.A.若a.b=0贝则a=0或b=0B.若Aa=0，则A=0或a=0C.若a2=b2,贝9a=b或a=—b对于向量a、b、c和实数兀下列命题中真命题是（B）D.若a•b=a・c,贝9b=c［解析］A中，若a•b=0,则a=0或b=0或a±b,故A错；C中，若a2=b2，则lai=lbl,C错；D中，若a-b=a-c,则可能有a±b,a±c,但b手c,故只有选项B正确，故选B.若向量a与b的夹角为60°,lbl=4,(a+2b)・(a—3b)=—72，则lal=(C)A.2 B.4C.6 D.12［解析］V(a+2b)-(a-3b)=-72，.•.a2—a，b—6b2=—72.lal2—lallblcos60°—6lbl2=—72.lal2—2lal—24=0,又TlalN0，「.lal=6.已知非零向量a,b满足lbl=4lal,且a±(2a+b),则a与b的夹角为(C)TOC\o"1-5"\h\zn nA.3 B.22n 5nC.项 D.—3 6ab［解析］由题意、，得a-(2a+b)=2a2+a-b=0，即ab=—2a2，所以cosa，b=Ovb\=/=—2,所以a，b=孚故选C.4^a2 2 3则P是△ABC的(D):.PB±CA.6.P是则P是△ABC的(D):.PB±CA.B-内心夕卜心B-内心。重心。。重心［解析］由PA・pB=rb-PC得PB・(Pa—Pc)=0,即PB・cA=0,同理PALBC,PC±AB,.P^AABC的垂心.二、填空题2n…7.（江办高考）已知勺、e2是夹角为耳的两个单位向量，a=e1—2e2,b=ke1+e2,若ab=0,则实数k的值为_j_.2兀 5［解析］由a・b=0得0—2e2)・(ke］+e2)=0.整理，得k—2+(1—2k)cos"3=0,解得k=$.已知向量a、b夹角为45°,且lal=1,l2a—bl=侦希，则lbl=^'2.［解析］l2a—bl=、寸10O(2a—b)2=10O4+lbl2—4lblcos45°=10Olbl=3-臣.三、解答题已知lal=10,lbl=12,a与b的夹角为120°，求:a，；(2)(3a).Q，)(3)(3b-2a)-(4a+b).［解析］(1Wb=lallblcos^=10X12Xcos120°=-60.(3a)-(5，)=5@b)=|x(—60)=—36.(3b-2a)-(4a+b)=12b-a+3b2—8a2—2a-b=10a-b+3lbl2—8lal2=10X(—60)+3X122—8X102=—968.10.已知lal=4,lbl=3,(2a-3b)-(2a+b)=61.求la+bl；求向量a在向量a+b方向上的投影.［解析］(1).「(2a—3b)-(2a+b)=61,.•.4lal2—4a・b—3lbl2=61.*/lal=4,lbl=3,Aa-b=—6,la+bl='•.,：lal2+lbl2+2a.b=%；42+32+2X(—6)=”J13.(2)・「a・(a+b)=lal2+a・b=42—6=10,「.向量a在向量a+b方向上的投影为a・(a+b)__ 10疝la+bl=而=13.B级素养提升一、选择题(2018-四川绵阳期末)下列命题中错误的是(B)对于任意向量a、b,有la+blWlal+lbl若a-b=0，则a=0或b=0对于任意向量a・b,有la・blWlallbl若a、b共线，则a-b=±lallbl［解析］当a±b时，ab=0也成立，故B错误.定义：laXbl=lal-lbl-sin^,其中3为向量a与b的夹角，若al=2,lbl=5,a-b=-6,则laXbl等于(B)TOC\o"1-5"\h\zA.-8 B.8C.-8或8 D.634 4［解析］由lal=2,lbl=5,a-b=—6,得cos3=—|,sin3=|,..laXbl=lal・lbl・sin3=2X5X|=8．

3.若非零向量a、b满足lal=§lbl,且(a—b)顼3a+2b),则a与b的夹角为(A)A.C.BA.C.D.n“. 2盘 2 _、.所以ab=3-(3lbl)2—2b2=3,2,所以cosa,bab32 <2=lal・lbl=2'巧=2,所以a、Vb2兀4,［解析“. 2盘 2 _、.所以ab=3-(3lbl)2—2b2=3,2,所以cosa,bab32 <2=lal・lbl=2'巧=2,所以a、Vb2兀4,故选A.4.已知△△&「中，若AB2=AB-AC+BA-BC+CA-洼，则△人8。是(C)A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形［解析］由AB2—AB-AC=BA-BC+CA-CB,——————得AB-(AB—AC)=BC・(BA—CA),—————一——.——即AB・CB=BC・BC,：.AB-BC+BCBC=0,/.Bc-(Ab+Bc)=q,则BbAC=o,即BC^AC,所以△△&「是直角三角形，故选C.1=3_二、填空题1=3_5.若非零向量a,b满足lal=3lbl=la+2bl,则a与b夹角的余弦值为^［解析］*/lal=3lbl=la+2bl,al2=9lbl2=(a+2b)2=al2+4lbl2+4a.b,：.a・b=—lbl2,cos(a-b〉a•b —cos(a-b〉一 一一 lal-lbl 3lbl・lbl 3*6.已知向量a、b满足：lal=1,l