平面向量夹角的计算方法

平面向量夹角的计算方法【知识要点】一、两个非零向量的夹角的概念rr uuotruuur . r已知非零向量a与b，作OA=a,OB=b,，则ZAOB=。（0<0<k）叫a与b的夹角.当。=0时a与r rr 兀rr rrb同向；当0=丸时，a与b反向；当0=一时，a与b垂直，记a±b.2r（1） 对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.rr rr rr（2） a与b的夹角，记作va,b>，确定向量a与b的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： F- F 1- F- F- FvAB,AC>=ZA但是vAB,BC>。ZBvAB,BC>=兀一/B二、求两个向量的夹角一般有两种方法urr方法一：cosva,b>=^Laibi、.一r, 、r， 、 一r.r・.-. . 尤尤+vv方法二：设a=(x,v),b=(x,v)，0为向量a与b的夹角，则cos0 12 211 22 \：‘X2+J2.气:‘X2+J2【方法讲评】方法一urrrrag利用公式cosva,b>=rr求解.|a||b|使用情景一般没有坐标背景.解题步骤urrrr.r..r. rrag先求ag，Ial,lbI，再代入公式cosva,b>=rr求解.|州rrrurrr rrrr【例1】已知x=a+b,v=2a+b,且Ia1=1b1=1,a±b.rur rur（1）求IxI和Ivl；（2）求x,v夹角的余弦值.【解析】（1）|jc|= +砂=+2拓思》尹=J1+0+1=再|y|= 十4云舌+R-=J4十。+1=$x*v （由+舌）*（2由+S）M4-电・片+#很■备所以向量夹角的余弦值为日煎.rr公式cos<a,b>=【点评】（1）ia12=a2和iairr公式cos<a,b>=rr求解时，要先求ag，Ia1,1bI这些基本量，再代入公式.冲Irr rrrr rrr rr【反馈检测1】已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.方法二一.一- xx+yy利用公式COs9=} 12j12 求解.Jx2+y2.JX2+y2使用情景一般有坐标背景.解题步骤..rr.. 一,’卜 xx+yy ..先求出a,b的坐标，再代入公式cos9= 1212 求解.Jx;+y2.Jx2+y2【例2】如图，函数y=2sin（兀i+甲）,xgR（其中0<^<^）的图像与y轴交于点（0,1）.（I） 求中的值；uuuuuuu（II） 设P是图像上的最高点，M、N是图像与X轴的交点，求PM与PN的夹角的余弦.【解析】（I）因为函数图像过点（0,1），~ 1所以2sin中=1,即sin中=—.2因为0<中<77，所以^=~2 6»»rr...» xx+yy【点评】此类问题的一般步骤是：先求a,b的坐标，再cos0=._=匚_求解.学科@网x2+y2•:x2+y21 1*2 2【反馈检测2】已知ia1=1,111=侦§,a+b=（v'3,i）,rr rrrr（1）试求Ia—bI；（2）a+b与a—b的夹角.参考答案rr 兀【反馈检测1答案】。与/的夹角为y【反馈检测1详细解析】由题得(^+35>(72-5&)=0/.7^+16^2-15?=0(1)(«-4)<7^-2$)=0「.7：—3诟・并8亍=0Q)①-(珈需■否=歹』(3)把(3)代人(t)得|朱引・.・&E[O:7t\ :.招片的夹角为；,一…..— 2【反馈检测2答案】(1)2；(2)3兀.rr ,—r——r— :r r~rl: r-r-【反馈检测2详细解析】(1)Ia-b1=\：'(a-b)2=\a2-2ag)+b2=<4—2agQIa+bI=2「.a2+2ag+b2=4rr rr:.2ag=0「.Ia-bf'4=2(2)设两个向量的夹角为a，rrrrrrTOC\o"1-5"