常用高等代数公式精简版

导数公式:(arcctgx)(arcctgx)(tgx)=sec2x(ctgx)'=-CSC2x(secx)'=secx-tgx(cscx)'=-cscx-ctgx(ax)'=axIna(log口x)'=—1-_(arcsinx)'=.】1—x2(arccosx)'=一 】■V1-x21(arctgx)= 1+x211+x2JcscJcscxdx=ln|cscx-ctg^+C=Jsec2xdx=tgx+C基本积分表：Jtgxdx=-ln|cosx|+Cjctgxdx=ln|sinx|+CJsecxdx=ln|secx+tgx|+CTOC\o"1-5"\h\zdx 1 x八J =—arctg—+Ca2+x2 a aJdx 1l x-a + cx2-a2 2a x+aJdx 1l a+x + ca2-x2 2a a-xdx xJ. =arcsin—+C\a2-x2 aJdxcos2xJdxJ =JCSC2xdx=-ctgx+CJsecx-tgxdx=secx+CJcscx-ctgxdx=-cscx+CJ/ axaxdx=CJshxdx=chx+CJchxdx=shx+CdxJ. =ln(x+v，'x2土a2)+C\x2土a2X X 工=Jsinnxdx=Jcosnxdx=n_-1n n-2InTOC\o"1-5"\h\z0 0f: : /x• ,a2］，，: 、，厂x2+a2dx=—\；x2+a2+——ln(x+\：x2+a2)+C2 2I,匚一/x：——a2一,匚一—,厂JVx2-a2dx=—7x2-a2-一lnx+7x2-a2+C2 2f.■— /x.. ,a2-x,八a2-x2dx=—\a2-x2+—arcsin—+C2 2 a三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限:三角函数公式:■诱导公式："函数角a\sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga•和差角公式：■和差化积公式:sin（以±P）=sin以cosP土cos以sinPcos（以±P）=cos以cosPRsin以sinP珀（a±P）=^±^1rtga-tgpctg（5）=弋:心1ctgP±ctgaTOC\o"1-5"\h\z以+p 以_ psin以+sinP=2sin cos 2 2以+p.以一 psin以-sinP=2cos sin 2 2以+P 以一Pcos以+cosP=2cos cos 2 2以+P.以一。cos以-cosP=2sin sin 2 2•倍角公式：•半角公式：•正弦定理：.""=b=C=2R•余弦定理：c2=a2+b2-2abcosCsinAsinBsinCarctgx=；-arcctgx■反三角函数性质：arcsinxarctgx=；-arcctgx2高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：x=^(t)空间曲线＜y=W(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：、z=®(t) ooo在点M处的法平面方程：^(t)(x-x)+w'(t.)(y-y)+W(t)(z-z0)=0x-x_y-y_z-z时(t)矿(t)®(t*)0000 0 0若空间曲线方程为"3y,z)=0,则切向量羯{[G(x,y,z)=0曲面尸(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：过此点的法向量：n={F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,yx0 0 0y0 0 0 z 0 0过此点的切平面方程：F(x,y,z)(x-x)+F(x ,y ,z )(y-y )+F(x,y,z)(z-z )=0x0 0 0 0y0 0 0 0z0 0 0 0过此点的法线方程:—-―土—=—y_y^—=—z__z^—F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x0 0 0y0 0 0z0 0 0FFFFFFyzzxxyGG,GG,GGyzzxxy00},z。)}1、2、3、方向导数与梯度:函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为:竺=fcos^+fsin中clox dy其中中为x轴到方向/的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=CfT+Cfjcx cyOf jj jj匕与方向导数的关系是:一=gradf(x,y)-e，其中e=cos^-i+sin里.j，为l方向上的cl单位向量。f是gradf(x,y)在/上的投影。cl多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：

JJf(尤,y)dxdy=JJf(rcosJJf(尤,y)dxdy=D D'曲面z=f(x,y)的面积A=JJ|1+空+竺dxdyJJyP(x,y)dJJyP(x,y)db

JJp(x,y)db平面薄片的重心：X=巳=*^竺，y=MMJJp(x,y)db M平面薄片的转动惯量：对于x^I=JJy2p(x,y)db, 对于)轴/=JJx2p(x,y)doDDxyzF=—faJJP(x,y)x如3d(x2+y2+a2)2平面薄片(位于xyzF=—faJJP(x,y)x如3d(x2+y2+a2)2F=fJJP(x,y)ydb3F=fJJP(x,y)ydb3d(x2+y2+a2)2d(x2+y2+a2)2xx=rcos0柱面坐标:<y=rsin9,z=zJJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,9,z)rdrd9dz,Q Q其中：F(r,9,z)=f(rcos9,rsin9,z)dv=rd中-rsin^-d9-dr=r2sin里drddv=rd中-rsin^-d9-dr=r2sin里drd里d9z=rcos中JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r，中,9)r2sin里drd中d9=Jd9Jd中j'F(r,中,9)r2sin里drQ Q 0 0 0其中M=x=JJJpdvI=JJJ(x2+y2)pdvz重心：x=MJJJ其中M=x=JJJpdvI=JJJ(x2+y2)pdvzQQQ转动惯量：I=JJJ(y2+z2)pdv, I=JJJ(x2+z2)pdv,曲线积分:曲面积分:对面积的曲面积分Jjf(x,y,zz)ds=jjf[x,y,z(x,y)L:1+z2(x,y)+z2(x,y)dxdy*x y对坐标的曲面积分：jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：jjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；jjP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；jjQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的关系:jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+QcosP+Rcosy)dsTOC\o"1-5"\h\zE E高斯公式：jjj +^^+^~)dv=jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+QcosP+Rcosy)dsdxdy dz。 E E高斯公式的物理意义一一通量与散度：散度：弥^=实+华+尊，即：单位体积内所产生的流体质量，若div^<0,则为消失...dxdydz通量:jjA-nds=jjAds=jj(Pcosa+QcosP+Rcosy)ds，E EE因此，高斯公式又可写成:jjjdivAdv=jjAdsTOC\o"1-5"\h\zQ E斯托克斯公式一曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：交错级数u-u+u-u+A(或-u+u-u+A,u>0)的审敛法——莱布尼兹定理：1 2 3 4 1 2 3un n+1如果交错级数满足Lun'"〃％，那么级数收敛且其和s<u,其余项〃的绝对值|尸|<Ilimu=0 un n+1〔nnT8绝对收敛与条件收敛:幂级数：1+x1+x+x2+X3+A+Xn+A|x|>1时，发散对于级数(3)a+ax+ax2+A+axn+A，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全0 1 2 n/ixVR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使！x|>R时发散，其中R称为收敛半径。x\=R时不定求收敛半径的方法：设limnT8求收敛半径的方法：设limnT8a—n+—anR=—PR=+8=P，其中a,a芦(3)的系数，则则p=0时p=+8时，R=0函数展开成幕级数：函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x)(x-x)+f(“0)(x-x)2+A+f(n)(x°)(x-x)n+A0 0 2! 0 n! 0余项：R=；；)；］)(x-x0)n+1，f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR=0x0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f；。)x2+A+f(xn+A一些函数展开成幕级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为21的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：fg(y)dy=jf(x)dx 得：G(y)=F(x)+。称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成华=f(x,y)*(x,y)，即写成y的函数，解法：dx x设"=y，则空=u+x四，u+主=◎(")，.•・臣=^^~分离变量，积分后将】代替"，xdxdxdx x中(u)-u x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:全微分方程：二阶微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)式的通解

两个不相等实根(P2-4q>0)两个相等实根(P2-4q=0)一对共轭复根(P2-4q<0)二阶常系数非齐次线性微分方程§3-6常用积分公式表■例题和点评⑴Jkdx=kx+c(k为常数)⑵Jx口dx(口更一1)=1x口+i+cH+1——dx=2"x+c、Jx特别，J—dx——dx=2"x+c、Jxx2 x 3I1、_.⑶J—dr=lnlxI+cIL—J.⑷Jaxdx= +c，特别，Jexdx=ex+cIna(5)Jsinxdx=-cosx+c⑹⑺⑻⑼⑽(11⑹⑺⑻⑼⑽(11)或。2)伯)Jcosxdx=sinx+cI1 Idx=csc2xdx=-cotx+c「Tx jdx=sec2xdx=tanx+ccos2xJ.—1——dx=arcsinx+c(a>0)，特别Ua2-x2 a1 _ 1 xdx=arctan—+c(a>0)，特别a2+x2a aI1 1dx= Ina2一x2 2aI1,1.」 dx=Inx2一a2 2atanxdx=-ln|cosx|+cJ cotxdx=Insinx+c+c(a>0)+c(a>0) dx=arcsinx+cK'1-x2dx=arctanx+c1+x2j爪J1Aj爪J1A㈣Jcscxdx=J dx=〈sinxIncscx-cotx+cIntan—+c

2⑲)f.fsecxdx=JInsecx+tanx+ccosX1 (a⑲)f.fsecxdx=JInsecx+tanx+ccosX1 (a>0)dx==\x2土a2】4Ix，兀)，lntanI—+—I+cI24)lnx+4x2土a2+ca2一x2dx(==)竺arcsinx+x\'a2—x2+c2a2/ ； ,(a>0)x■ ,a2.Vx2土a2dx==—Vx2土a2土一Inx+2 2nx2土a2+crfd asinbx-bcosbx0eaxsinbxdx= eax+c<f a2+b2I,, bsinbx+acosbx」e«xcosbxdx= eax+cI a2+b2瀛(a2+x2)»6x=【广2(n-1)a如2+x2)“-1+2(^1>2【“-1+c(递推公式)跟我做练习（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式）例24含根式(ox2+bx+c的积分ffx2—4x+5dx=fp(x—2)2+1d(x—2)[套用公式(18)]JX'。x2—4x+5dx=—J[(2x—4)+4〕vx2—4x+5dx2=(请你写出答案)⑶f:x2—4x+5dx=J—. [ d(x—2)=lnI(x—2)+气：'(x—2)2+1\;(X一2)2+1"套用公式(16)]⑷"X dx=J(2X一4)+4、x2-4x+5 2 x'x2-4x+5•X1 (2x—4)+4 1Id(x2-4x+5)dx=-■

2+2f_,、；x2-4x+5二（请你写出答案）⑸"5+4x一x2dx=-(X-2)2d(X-2)32 .X-2=—arcsin 23+亨132-(X一2)2[套用公式(17)](6)Jxv'5+4x一x2dx=*[(4-2x)一4〕*5+4x一x2dx二（请你写出答案）

f⑺ v5+4x⑻j xdx\5+f⑺ v5+4x⑻j xdx\5+4x—x2_1f[(4-2x)-4]dx_上fd(5+4x—x2)+2f dx一2 、3_|_心_丫2 —2 v5+4x—x2 \；5+4x—x2_(请你写出答案)例25求原函数f-^dx.1+x4解因为所以令 _ _从恒等式(Ax+B)(x2Fx+1)+(Cx+D)(x2+*'2x+1)三1(两端分子相等)，可得方程组解这个方程组(在草纸上做)，得A=二，B_1,C_-—,D_1.因此，2^2