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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.2.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值为()A. B. C.8 D.63.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()A. B.C. D.4.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.5.函数的定义域为()A.或 B.或C. D.6.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.7.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则()A. B. C. D.8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若,则λ+μ的值为()A. B. C. D.9.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是()A. B.C. D.10.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()A. B.C. D.11.若的展开式中的系数为150,则()A.20 B.15 C.10 D.2512.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.割圆术是估算圆周率的科学方法,由三国时期数学家刘徽创立,他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积,从而得出圆周率.现在半径为1的圆内任取一点,则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________.14.已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的焦距为2c,过C外一点P(c,2c)作线段PF1,PF2分别交椭圆C于点A、B,若|PA|=|AF1|,则_____.15.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.16.甲,乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛,甲队有编号为1,2,3的三名运动员,乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员,若两队各出一名队员进行比赛,则出场的两名运动员编号相同的概率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数),求直线与曲线的交点的直角坐标.18.(12分)在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为、,与直线的交点为,求线段的长.19.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m≠3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线的方程化为极坐标方程;(2)已知点是曲线上的任意一点,又直线上有两点和,且,又点的极角为,点的极角为锐角.求:①点的极角;②面积的取值范围.21.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y关于x的线性回归方程;(2)若每吨该产品的成本为12千元,假设该产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润w取到最大值?参考公式:22.(10分)已知函数.(1)若在处导数相等,证明:;(2)若对于任意,直线与曲线都有唯一公共点,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.2、C【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简,结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,半焦距为,则,,设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:,则当且仅当时,取等号.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式,属于中等题.3、C【解析】
对选项逐个验证即得答案.【详解】对于,,是偶函数,故选项错误;对于,,定义域为,在上不是单调函数,故选项错误;对于,当时,;当时,;又时,.综上,对,都有,是奇函数.又时,是开口向上的抛物线,对称轴,在上单调递增,是奇函数,在上是单调递增函数,故选项正确;对于,在上单调递增,在上单调递增,但,在上不是单调函数,故选项错误.故选:.【点睛】本题考查函数的基本性质,属于基础题.4、B【解析】
列出每一次循环,直到计数变量满足退出循环.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:,退出循环,输出的为.故选:B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果,要注意在哪一步退出循环,是一道容易题.5、A【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.6、A【解析】
根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.7、A【解析】
由已知可得,根据二倍角公式即可求解.【详解】角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则,.故选:A.【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式,考查计算求解能力,属于基础题.8、B【解析】
建立平面直角坐标系,用坐标表示,利用,列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得则.故选:B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数,属于中档题.9、A【解析】
由的解集,可知及,进而可求出方程的解,从而可求出的解集.【详解】由的解集为,可知且,令,解得,,因为,所以的解集为,故选:A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于基础题.10、C【解析】
根据偶函数的性质,比较即可.【详解】解:显然,所以是定义域为的偶函数,且在单调递增,所以故选:C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质,是基础题.11、C【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到,即得解.【详解】由已知得,故当时,,于是有,则.故选:C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积,再用几何概型公式求出即可.【详解】半径为1的圆内接正十二边形,可分割为12个顶角为,腰为1的等腰三角形,∴该正十二边形的面积为,根据几何概型公式,该点取自其内接正十二边形的概率为,故答案为:.【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算,属于基础题.14、【解析】
根据条件可得判断OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,从而得到点A为椭圆上顶点,则有b=c,解出B的坐标即可得到比值.【详解】因为|PA|=|AF1|,所以点A是线段PF1的中点,又因为点O为线段F1F2的中点,所以OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因为点P(c,2c),所以PF2⊥x轴,则|PF2|=2c,所以OA⊥x轴,则点A为椭圆上顶点,所以|OA|=b,则2b=2c,所以b=c,ac,设B(c,m)(m>0),则,解得mc,所以|BF2|c,则.故答案为:2.【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查直线位置关系的判断,方程思想,属于中档题.15、【解析】
设,,根据中点坐标公式可得坐标,利用可得到点坐标所满足的方程,结合直线斜率可求得,进而求得;将点坐标代入双曲线方程,结合焦点坐标可求得,进而得到离心率.【详解】左焦点为,双曲线的半焦距.设,,,,,,即,,即,又直线斜率为,即,,,,在双曲线上,,即,结合可解得:,,离心率.故答案为:;.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题,涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题;关键是能够通过设点的方式,结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.16、【解析】
出场运动员编号相同的事件显然有3种,计算出总的基本事件数,由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】甲队有编号为1,2,3的三名运动员,乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员,出场的两名运动员编号相同的事件数为3,出现的基本事件总数,则出场的两名运动员编号相同的概率为.故答案为:【点睛】本题考查求古典概率的概率问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】
将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.【详解】因为直线的极坐标方程为,所以直线的普通方程为,又因为曲线的参数方程为(为参数),所以曲线的直角坐标方程为,联立方程,解得或,因为,所以舍去,故点的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.18、(1)(2)【解析】
(1)首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可;(2)设,,由,即可求出,则计算可得;【详解】解:(1)圆的参数方程(为参数)可化为,∴,即圆的极坐标方程为.(2)设,由,解得.设,由,解得.∵,∴.【点睛】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19、(1);(2)m-n-1=0【解析】试题分析:(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M的直线l的方程,将l与椭圆C联立,得到两交点坐标关系,然后将k1+k3表示为直线l斜率的关系式,化简后得k1+k3=2,于是可得m,n的关系式.试题解析:(1)由题意,c=,b=1,所以a=故椭圆C的方程为(2)①当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,代入椭圆得,y=±不妨设A(1,),B(1,-)因为k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的关系式为=1,即m-n-1=0②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)将y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的关系式为m-n-1=0综上所述,m,n的关系式为m-n-1=0.考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,20、(1)曲线为圆心在原点,半径为2的圆.的极坐标方程为(2)①②【解析】
(1)求得曲线伸缩变换后所得的参数方程,消参后求得的普通方程,判断出对应的曲线,并将的普通方程转化为极坐标方程.(2)①将的极角代入直线的极坐标方程,由此求得点的极径,判断出为等腰三角形,求得直线的普通方程,由此求得,进而求得,从而求得点的极角.②解法一:利用曲线的参数方程,求得曲线上的点到直线的距离的表达式,结合三角函数的知识求得的最小值和最大值,由此求得面积的取值范围.解法二:根据曲线表示的曲线,利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值,进而求得面积的取值范围.【详解】(1)因为曲线的参数方程为(为参数),因为则曲线的参数方程所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点,半径为2的圆.所以的极坐标方程为,即.(2)①点的极角为,代入直线的极坐标方程得点极径为,且,所以为等腰三角形,又直线的普通方程为,又点的极角为锐角,所以,所以,所以点的极角为.②解法1:直线的普通方程为.曲线上的点到直线的距离.当,即()时,取到最小值为.当,即()时,取到最大值为.所以面积的最大值为;所以面积的最小值为;故面积的取值范围.解法2:直线的普通方程为.因为圆的半径为2,且圆心到直线的距离,因为,所以圆与直线相离.所以圆上的点到直线的距离最大值为,最小值为.所以面积的最大值为;所以面积的最小值为;故面积的取值范围.【点睛】本小题考查坐标变换,极径与极角;直线,圆的极坐标方程,圆的参数方程,直线的极坐标方程与普通方程,点到直线的距离等.考查数学运算能力,包括运算原理的理解与应用、运算方
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