2021高考通用人A（文）数学一轮复习讲义：第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算

.PAGE下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第四章平面向量、数系的扩大与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]考点2021年2021年2021年2021年2021年平面向量的线性运算全国卷Ⅰ·T6平面向量根本定理及坐标运算全国卷Ⅱ·T13全国卷Ⅰ·T2平面向量的数量积及其应用全国卷Ⅰ·T13全国卷Ⅲ·T3全国卷Ⅰ·T20全国卷Ⅱ·T4全国卷Ⅱ·T4全国卷Ⅰ·T13全国卷Ⅱ·T14全国卷·T15复数的相关概念及其运算全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T2全国卷Ⅲ·T2全国卷Ⅰ·T3全国卷Ⅱ·T2全国卷Ⅰ·T3全国卷Ⅱ·T2全国卷Ⅰ·T2全国卷Ⅱ·T2全国卷·T2[重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考察平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四那么运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形〞与“数〞的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．[导学心语]1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法那么是学好本章的根底．(1)向量的几何运算侧重于“形〞，坐标运算侧重于“数〞，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透充分表达了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足根底知识和根本技能，强化应用．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实〞的思想方法．第一节平面向量的概念及线性运算————————————————————————————————[考纲]1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向一样或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向一样的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法那么(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法那么平行四边形法那么(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法那么a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向一样；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)假设a∥b，b∥c，那么a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．()(4)△ABC中，D是BC的中点，那么eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2021·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))B.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))D.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))A[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→)).应选A.]3．(2021·银川质检)设点P是△ABC所在平面内一点，且eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(BP,\s\up8(→))，那么eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝________.0[因为eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(BP,\s\up8(→))，由平行四边形法那么知，点P为AC的中点，故eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝0.]4．(教材改编)▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，那么eq\o(DC,\s\up8(→))＝________，eq\o(BC,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．b－a－a－b[如图，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝－a－b.]5．a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，那么λ－eq\f(1,3)[由得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))]平面向量的有关概念给出以下六个命题：①假设|a|＝|b|，那么a＝b或a＝－b；②假设eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，那么ABCD为平行四边形；③假设a与b同向，且|a|>|b|，那么a>b；④λ，μ为实数，假设λa＝μb，那么a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，那么λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比拟大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．][规律方法]1.(1)易无视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进展否认是对向量的有关概念题进展判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．假设a为非零向量，那么eq\f(a,|a|)是与a同向的单位向量，－eq\f(a,|a|)是与a反向的单位向量．[变式训练1]设a0为单位向量，①假设a为平面内的某个向量，那么a＝|a|a0；②假设a与a0平行，那么a＝|a|a0；③假设a与a0平行且|a|＝1，那么a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()【导学号：31222141】A．0 B．1C．2 D．3D[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模一样，但方向不一定一样，故①是假命题；假设a与a0平行，那么a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2021·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，那么eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up8(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))(2)(2021·广东广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，假设eq\o(CD,\s\up8(→))＝meq\o(BA,\s\up8(→))＋neq\o(BC,\s\up8(→))(m，n∈R)，那么eq\f(m,n)＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．3(1)C(2)A[(1)如图，eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\o(EC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(EC,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).(2)如图，过D作DE∥AB，eq\o(CD,\s\up8(→))＝meq\o(BA,\s\up8(→))＋neq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(ED,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))，所以n＝－eq\f(1,3)，m＝1，所以eq\f(m,n)＝－3.应选A.][规律方法]向量的线性运算的求解方法(1)进展向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的根本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2](1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，那么eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up8(→)) B．2eq\o(OM,\s\up8(→))C．3eq\o(OM,\s\up8(→)) D．4eq\o(OM,\s\up8(→))(2)D为三角形ABC边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，那么实数λ的值为________．(1)D(2)－2[(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法那么，得eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝2eq\o(OM,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝2eq\o(OM,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝4eq\o(OM,\s\up8(→)).应选D.(2)因为D是BC的中点，那么eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→)).由eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，得eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(PC,\s\up8(→)).又eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))＝－2eq\o(PD,\s\up8(→))，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)假设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，2分∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.9分∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k分[规律方法]共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，假设存在实数λ，使a＝λb，那么a与b共线．(2)证明三点共线：假设存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))，那么A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3](1)向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－3a＋3b，那么()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线(2)(2021·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，那么实数λ＝________.(1)B(2)eq\f(1,2)[(1)∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．应选B.(2)∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))][思想与方法]1．向量加法的三角形法那么应注意“首尾相接，指向终点〞；向量减法的三角形法那么应注意“起点重合，指向被减向量〞；平行四边形法那么应注意“起点重合〞．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))不共线，满足eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x，y∈R)，那么P，A，B共线⇔x＋y＝1.[易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易无视“a≠0”，否那么λ课时分层训练(二十四)平面向量的概念及线性运算A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC中，M是BC中点，设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，那么eq\o(AM,\s\up6(→))＝()【导学号：31222142】A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)bA[eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，应选A.]2．eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么以下一定共线的三点是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．]3．在△ABC中，D是AB边上的一点，假设eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，那么λ等于()【导学号：31222143】A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]4．设a，b都是非零向量，以下四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)⇔a＝eq\f(|a|b,|b|)⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直A[由题意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，因此eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))反向平行．]二、填空题6．O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，那么四边形ABCD的形状为________.【导学号：31222144】平行四边形[由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．]7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，假设eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝________.(用e1，e2表示)eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．]8．(2021·北京高考)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).假设eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，那么x＝________；y＝________.eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴MN＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).]三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).图4­1­1[解]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.2分eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12分10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线.3分又∵eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分∵A，C，D三点共线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，从而存在实数λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，9分即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设M是△ABC所在平面上的一点，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中点，那么eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,|\o(BM,\s\up6(→))|)的值为()【导学号：31222145】A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．2A[∵D是AC的中点，延长MD至E，使得