专题07不等式恒成立问题（原卷版）

专题07不等式恒成立问题【方法技巧与总结】.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别..利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：⑴VxgD,/«"(%)=；VxeZ),fn>f(x)<=>m>f(..不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=/(x),xe[a,b],y=^(x),xe[c,J].(1)若也目,有)成立,则/(X)心<g3min；(2)若可，加有f(N)〈g(巧)成立，则/(Mg<g(x)1mx;(3)若孙电,句,切w[c,d],有/(x)vg(w)成立,则，(力二vgOz(4)若可，*24cM，有f(3)=g(w)成立，则〃力的值域是g(“)的值域的子集..法贝lj1若函数/(x)和g(x)满足下列条件:(1)也f(工)=0及limg3=0；(2)在点a的去心邻域怯-£,a)5。,。+£)内,/(幻与g(“)可导且g'3*。;fr(x)那么lim里==法则2若函数/*)和g(x)满足下列条件：⑴(x)=。及!吧g(x)=0.(2)3A>0,f(x)和g(x)在(-8,A)与(A+o。)上可导,且，(x)，0；fix)⑶吧E，⑵对于V%g[1,3],Vx2ege,都有/&)~«),试求实数〃的取值范围.10.(2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测(文))已知函数/(力=2-旬+/-21+1+(工-1)也2.⑴求函数/("的单调区间；(2)若对内、玉目0,2],使|/(%)_/仇)归2―恒成立，求a的取值范围../(X).f'(x)那么lim--=lim—=/。Eg(x)ig(x)法则3若函数/*)和以尤)满足下列条件：⑴lim/(x)=8及limg(x)=8；xiax->a⑵在点a的去心邻域(。一号。)5。，。+£)内，f(%)与g(x)可导且g'(x)*。;fix)⑶lim-4=/,ig(X)那么lim华^=痴4^=/。注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:(1)将上面公式中的x->a,XfX->a+fXf4洛必达法则也成立。(2)洛必达法则可处理()00,f,00°,0°,8-8型。(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足?，三0-OD,f,00°,0°,8-8型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。lim44=lim=如满足条件，可继续使用洛必达法则。【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：端点恒成立题型三：端点不成立题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离题型五：洛必达法则题型六：同构法题型七：必要性探路题型八：max,min函数问题题型九：构造函数技巧题型十：双变量最值问题【典例例题】题型一：直接法例1.已知函数f(x)=alnx-x2+(2a-l)x,(a..0).(I)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x),,0,求”的取值范围.例2.已知函数/(x)=a2lnx-x2+av.(I)讨论f(x)的单调性；(2)若/(、•),,0,求。的取值范围.例3.已知函数/(x)=(/)2+(l-44)e'-2m(a.O).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/'(x)..O,求〃的取值范围.题型二：端点恒成立例4.(2022•黑龙江•模拟预测(文))已知函数/(x)=(x-(1)当。=1时，求“幻的单调区间；(2)当无20时，恒有/(幻之0,求实数。的最小值.例5.(2022・全国・高三专题练习)已知函数/(幻=山门+砥4〃£/?)在，33处取得极值，且曲线)'=/。)在点(1J⑴)处的切线与直线6“1=0垂直.(I)求实数的值；(2)若Vxe[l,+oo),不等式/(x)w("l2)x-'恒成立，求实数，”的取值范围.x例6.(2022•黑龙江•模拟预测(理))已知函数/㈤="lnx+履一3k,求：(1)当时,求曲线/*)在点(L/⑴)处的切线方程；(2)当R>3时，总有求整数攵的最小值.题型三：端点不成立例7.(2022•辽宁大连•高三月考)已知函数/("=awx-(x+l『(其中aeR,e为自然对数的底数).(1)讨论函数/("的单调性；(2)当x>0时，f(x)>\nx-x2-x-3f求。的取值范围.例8.(2022•陕西安康•高三期中(理))已知函数=-〃>0.(1)若a=l,证明:/W^0;(2)若/(%)之0恒成立，求。的取值范围.例9.(2022•江苏镇江•高三期中)已知函数f(x)=lnx,g(x)=kx2-2x(keR).(1)若y=在x=l处的切线也是)，=g(x)的切线，求A的值；(2)若xe(0,”o),f(x)Mg(x)恒成立,求％的最小整数值.题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离例10.已知函数f(x)=e'+&7.(1)当4=1时，讨论/*)的单调性；(2)当X..0时，/(工)…3M+],求。的取值范围.例11.已知函数/(x)=x“+./+(a-l)x+l.(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；(2)当x>0时，/(戏,f+，，求〃的取值范围.例12.已知函数/3)=-一奴2一彳一1.(I)当4=-1时，讨论/(X)的单调性；(II)当X..0时，/(幻.[工3-2,川恒成立，求实数4的取值范围.题型五：洛必达法则例13：已知函数/(工)=。111%+瓜(。,〃£/?)在工=；处取得极值，且曲线>=/*)在点(1J⑴)处的切线与直线x-y+l=0垂直.(1)求实数的值；(2)若X/xw[l,+8),不等式/(x)«("2-2)x-一恒成立，求实数〃7的取值范围.X例14.设函数/(x)=l—Y(1)证明：当了>一1时，f(x)>——;X+1X(2)设当xNO时，/(%)<,求。的取值范围.ax+\cin(例15.设函数/(不)==~:—.如果对任何xNo，都有/(x)Wax,求。的取值范围.2+cosx题型六：同构法例16.己知函数/(X)=aex-ln(x+2)+Ina-2,(1)若/(外在x=0处取得极值，求。的值及函数的单调区间.(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.①若f(x)..O恒成江，求。的取值范围；②若/(x)仅有两个零点，求a的取值范围.例17.若对任意x>0,恒有〃(产+l)22,求实数〃的最小值例18.已知函数/(x)=e'-aln(av-a)+a(a>0),若关于x的不等式/(x)>()恒成立，求实数a的取值范围例19.时任意x>0,不等式加e”-Inx+lna2()恒成立，求实数。的最小值题型七：必要性探路例20.是否存在正整数。，使得ev-ar>x2lnx对一切x>0恒成立?试求出a的最大值.例21.x〉2/<I求k的最大整数值.X—2例22.求使得X，一2x+Z>0在[0,+8)上恒成立的最小整数k例23.(2022•苏州三模)已知函数=其中awR.(I)函数/(x)的图象能否与“轴相切？若能，求出实数a,若不能，请说明理由；(II)求最大的整数a,使得对任意x2e(0,+oo),不等式/(%+七)一/(王一天)>一2电恒成立.题型八：max,min函数问题例24.(2022・云南师大附中而三月考(文))已知函数/(幻=(彳-1修-；/+],g(x)=sinx-ar,其中aeR.(1)证明：当x.l时，/U)..O；当xvl时，/(x)<0；(2)用max{〃?,〃}表示加，一中的最大值,记尸(x)=max{/a),g(%)}.是否存在实数°,对任意的xeR,尸5)-。恒成立.若存在，求出出若不存在，请说明理由.例25.(2022・云南师大附中高三月考(理))己知函数/(x)=a-2)ei-?2+x+g,^(x)=av-sinx-ln(x+l),其中awR.(1)证明:当X..1时,/«..0；当xvl时，/(x)<0；(2)用max{m,〃}表示小,〃中的最大值，记尸(力=max{/(x),g(x)}.是否存在实数小对任意的xeR,产(。.0恒成立.若存在，求出。；若不存在，请说明理由.i7例26.(2022•广东•顺德一中高三开学考试)己知函数人幻=(x-4)ex-3--x2+3x--,g(x)=a"+cosx,其中aeR.(1)讨论函数〃x)的单调性，并求不等式/。)>。的解集；(2)若a=l,证明：当x>0时,g(x)>2,(3)用max{〃?,〃}表示〃"〃中的最大值，设函数九")=max{/(x)衣(%)},若力(x)“在(0,+<»)上恒成立，求实数〃的取值范围.题型九：构造函数技巧例27.已知函数/(x)=inxlnx-\,〃?H0.(I)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x)=/，x,且关于x的不等式/(x),g@)在(0,”)上恒成立，其中e是自然对数的底数,e求实数，〃的取值范围.例28.已知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与〃(x)="+"eR)在区间。上恒有/(x)蹄(x)g(.r).(I)若/(x)=W+2x,^(x)=-x2+2x,D=(-oo,+co),求〃(x)的表达式；(2)若/")=/一x+1,g(x)=khvc,h(x)=k.x-k>D=(0,+co),求女的取值范围；(3)若/(x)=-2/,g(x)=4x2-8,h(x)=4(?-t)x-3r4+2r2(0<1r|„>/2),D=[m,n](^[-42,求证：n-叫,币.例29.已知函数/(x)=e，-ex?+at(aeR).(1)若/(x)在(0,1)上单调，求。的取值范围.(2)若y=/(x)+c/〃x的图象恒在x轴上方，求a的取值范围.题型十：双变量最值问题例30.（2022•山西晋中•三模（理））已知函数/（x）=ln%,s（x）=ax（2022•四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））已知aeR,函数（2022•四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））已知aeR,函数/（x）=ar-17nx.⑴讨论/（x）的单调性；（1）当a=0时，直线y=g（%）与函数y=/3）的图象相切，求b的值；（2）当。工0时，若对任意x>0,都有/（x）Kg（x）恒成立，求的最小值.a例31.（2022•浙江台州•三模）已知函数/。）=9+（1+%）。+4一a-2,g（x）=取2+x,其中1+X"wR,.（6=2.718281828…为自然对数的底数）（I）求/*）在点（0J（。））处的切线方程；（2）若时，在（0,+8）上恒成立.当匕取得最大值时，求知=幺上的最小值.a例32.（2022・河南•郑州一中模拟预测（文））已知函数<x）=ae'-x,（1）求危）的单调区间,（2）若关于x不等式。〃对任意xwR和正数力恒成立，求2的最小值.a【过关测试】1.（2022•北京•景山学校模拟预测）已知函数〃x）=xlnx+or+2.⑴当。=0时,求“X）的极值；⑵若对任意的工€口看］,/（x）WO恒成立，求实数。的取值范围.(2)当〃=1时，若对Vx£(O,”)J(x)之阮-2恒成立，求实数人的最大值.(2022.全国•高三专题练习)已知awR,函数/(x)=e'+ad,g(x)是/(刈的导函数.⑴当。>0时，求证：存在唯一的.%£($，0),使得g(%)=0；(2)若存在实数a,b,使得/(x)之匕恒成立，求的最小值.(2022•新疆克拉玛依三模(文))已知函数/(x)=xh】x,5(x)=-x2+ax-3(«e/?).(1)求函数/(x)的单调递增区间；(2)若对任意X£(0,+e),不等式外力29(%)恒成立，求。的取值范围.(2022•四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知函数/(x)=e-心(其中e为自然对数的底数,“2.718…).⑴当〃=2时，求函数y=/(同在点(。,/(。))处的切线方程；(2)若/(x)21恒成立，求实数a的值.(2022•江西•临川一中模拟预测(文))函数/(x)=ersinx-a的图像与直线2x-.y=0相切.(1)求实数〃的值：(2)当X£[0,+8)时，/(A-)>7K