圆专题与圆有关的最值问题-【题型分类归纳】

专题：与圆有关的最值问题上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值已知圆C及圆外一定点P,设圆。的半径为广则圆上点到P点距离的最小值为忸M=|PC|-〃,最大值为科=|PC|+-即连结PC并延长，/为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点.已知圆。和圆外的一条直线/，则圆上点到直线距离的最小值为1PMi=4_/-〃，距离的最大值为|/W|=dj+〃(过圆心。作/的垂线，垂足为尸，C尸与圆。交于M，其反向延长线交圆C于N三、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.已知圆。和圆外的一条直线/,则过直线/上的点作圆的切线，切线长的最小值为1PM|.四、过圆内定点的弦长最值已知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN.五、利用代数法的几何意义求最值1、形如y=二心的最值问题，可以转化为过点(x,y)和点(a,b)的动直线斜率的最值问题；x-a2、形如z=(X-a)2+(y-32的最值问题，可以转化为点(X,y)和点(a,b)的距离的平方的最值问题；3、形如z=6+力的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题题型一圆上的点到定点的距离最值【例1】若点M在曲线d+r—6x-4y+12=0上，0为坐标原点，则|而岫取值范围是【变式M］在圆(%-2)2+(y+3)2=2上与点(0,-5)距离最大的点的坐标是.【变式1-2］已知圆C:2+式=2，点4-…3),则点A到圆。上点的最小距离为()A.1B.2C.—D.磋22【变式1-3]已知点4-2,0),3(2,0),C(4,3),动点P满足以_LPB,则附|的取值范围为()A.[2,5]B.[2,8]C.[3,7]D.[4,6【变式1-4】已知式-2,0),3(2,0)，点P是圆C：(x—3)2+(y—历2=i上的动点则尸F+|成『的最小值为A.9B.14C.26D.28【变式1-5]已知直线/与圆。:/+产=9交于A,B两点，点尸(4,0)满足处_LPB,若AB的中点为则I。叫的最大值为()A.2+显B.2+立C.之+也D.1+V222222题型二两圆上的动点的距离最值【例2】已知点尸，。分别为圆G:(X-2)2+(y+4)2=1与圆G：(X+2)2+(y+3)2=4的任意一点，则\PQ\的取值范围是()A.即-4,后+4]B.即-3,旧+3]C.[717-2,5/17+2]D.即-1而+「【变式2-1】已知两定点4-2,0),%0),如果动点尸满足照=2阀，点。是圆(X-2)2+("3)2=3上的动点，则归@的最大值为()A.5-V3B.5+囱C.3+273D.3-26【变式2-2]已知直线4：丘+y=。(丘尺)与直线。：%-6+2左-2=0相交于点A,点8是圆(%+2)2+(y+3)2=2上的动点,则।A31的最大值为()【变式2-3】设圆。]：工2+9_10%+4丁+25=0与圆。2：冗2+)，-14%+2丁+25=0,点A,3分别是C.,G上的动点，M为直线产光上的动点，则IK4I+IMBI的最小值为()A,3715-7B.3V13-7.C.572-4D.573-4【变式2-4】已知圆Cj:(%-I)2+(y-I)2=1,圆G：(x-3)2+(y-2)2=4；动点P在x轴上，动点M,7N分别在圆G和圆。2上，则I尸MI+1PN|的最小值是.【变式2-5】已知圆G：(l)，(y+l)2=l,圆G：(x-4)2+(y-5)2=9，点M、N分别是圆G、圆G上的动点，点2为》轴上的动点，则IpnHpM的最大值是()A.275+4B.9C.7D.2石+2【变式2-6】已知圆G：(x+2y+(y-3)2=1,圆6：(1-4)2+0；-2)2=4,〃,双分别是圆弓，。2上的动点，P为X轴上的动点,则|pm|Tpn|的最大值为（）A.V37+1A.V37+1A.V37+1B.V37+3C.375+1A.V37+1B.V37+3C.375+1D.V20-VB+3V17题型三圆上的点到直线的距离最值【例3】点尸为圆（1）2+，=2上一动点，点尸到直线尸工+3的最短距离为（）【变式3-1】已知P是半圆c：而下=-x上的点，。是直线x-yT=。上的一点，则附|的最小值为（）B.y/2-lA.逑B.y/2-l【变式3-2】直线x+y+2=。分别与％轴）轴交于A尸两点点P在圆（x-2『+产=2上则八4第面积的取值范围为（）A.[2,6]B.[48]C.[2,8]D.[4,6]【变式3-3】圆面/+丁_©—4y+4<0与圆面x2+y2-2x-2y-2<0的公共部分M（含边界）上的点到直线力+—+5=0的最短距离为（）D・|D・|D・|32B・行D・|的切线长度最值问题【例4】直线工尢-1上一点向圆（x-3>+y2=i引切线长的最小值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.2V2B.lC.y/7D.3【变式4-1】已知过坐标原点。的直线与圆Uf+V—8%+6y+21=0相切，则切线长（点。与切点间的距离）为（）A.3B.4C.V21D.5【变式4-2】已知圆。：八/=3,/为过网1,©的圆的切线，A为/上任一点，过A作圆N:（%+2）2+丁=4的切线,则切线长的最小值是.【变式4-3】若圆C：Y+y2-2x-2y-7=0关于直线依+外+3=0对称，由点PS，勿向圆C作切线，切点为A,则线段PA的最小值为一.题型五过圆内定点的弦长最值【例5】直线)1=3-3)被圆(>2)2+(,-2)2=4所截得的最短弦长等于()A.V2B.26C.2V2D.石【变式5-1】已知圆。：/+丫2=10，已知直线/：◎+力=2a-Wa,bwR)与圆。的交点分别此N,当直线/被圆0截得的弦长最小时"MN|=()A.辿B.拽C.2>/5D,375TOC\o"1-5"\h\z22【变式5-2】当圆。：弓+>_4%+6尸3=0的圆心到直线Z:mx+y+用-1=0的距离最大时，加=()A。B—C--D'4J'4.3【变式5-3】已知点P在直线％+>=4上过点P作圆0:/+丁=4的两条切线切点分别为a,B,点M在圆G:(x-4)2+(y—5)2=1上,则点M到直线A3距离的最大值为()A.4B.6C.Vio-1D.V13-1题型六利用代数式几何意义求最值【例6】已知实数无，y满足必+/-6x-6y+14=0,求x~+_y2+2%+3的最大值与最小值.【变式6-1］已知点P(%,y)在圆:炉+(，-1)2=1上运动.试求：(1)卜+@2+丁的最值；(2)m的最值；A-Z【变式6-2】设P(x,y)是圆C(%-2)2+y2=i上任意一点,贝［(%—5>+(y+4>的最大值为()A.6B.25C.26D.36【变式6-3】已知圆。：(%-3)2+(丁一4)2=1，点A(0,-1)与8(0,1),尸为圆C上动点，当|PA『+|P3|2取最大值时点P坐标是.题型七面积的最值问题【例7】已知圆石经过点A(0,0).,,C(2,0).(1)求圆£的方程；.(2)若P为圆石上的一动点，求A4防面积的最大值.【变式7-1】已知圆C：d)2+(y-1>=4)为直线/：2x+y+2=0上的动点，过点尸作圆。的切线以,切点为A,当△抬C的面积最小时，△以。的外接圆的方程为()【变式7-