人教B版必修第一册1.2.1命题与量词学案

第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语命题与量词•素养导引.通过生活和数学中的实例理解命题及全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.（数学抽象）.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.（数学抽象、逻辑推理）一、命题定义可供真假判断的陈述语句八.真命题:判断为真的语句假命题:判断为假的语句表示命题可以用一个小写英文字母，如P,q,

r,……［诊断］下列语句中是命题的个数为0①“等边三角形是等腰三角形吗？”②向雷锋同志学习！③“一个数的绝对值一定是正数”；④“孙为有理数，则x,y也都是有理数1⑤3乍△ABCs/xa0。"'.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①是疑问句，不是陈述句，不是命题.②是感叹句/不是命题.③是命题且是假命题，0的绝对值不是正数.④是命题且是假命题，如工=小，y=-小.⑤是祈使句/不是命题.二、全称量词、全称量词命题与存在量词、存在量词命题全称量词存在量词自词任意、所有、每一个存在、食、至少有一个在陈述中表示所述在陈述中表示所述事物的全体事物的个体或部分符号V3命感含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的前题称为存在量词命题命也形式〃对集合M中的所有兀素可筒记为、x£M,r（x）〃〃存在集合M中的儿素X,s（x『,可简记为'勺x£M,5（x）〃【批注】.一个全称量词命题可以包含多个变量，有些命题虽然省去了全称量词，但是仍然为全称量词命题；.一个存在量词命题可以包含多个变量，如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大，都是存在量词命题.［诊断］.辨析记忆（对的打“小，错的打“X”）.（1）“三角形内角和是180。”是全称量词命题.（4）提示：所有三角形的内角和都是180°；⑵“有些三角形中三个内角相等，，是存在量词命题.（<）提示：含有存在量词“有些I（3）“VxGR,r+INI”是真命题.（4）提示：VxER,^>0,故炉+1N1；（4）存在量词命题FxGR,炉<0”是真命题.（x）提示：不存在x2<0..(教材P25例题改编)下列四个命题中的真命题为()A.3xGZ,1<4x<3B.3xGZ,5x+1=0C.VxGRfx2-1=0(B27D.VxE：R,|^+2J+4>0【解析】选D.当x£R时，Q+才知.学习任务一命题及其真假的判断（逻辑推理）.下列语句是命题的是0①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④。2；⑤2021央视春晚真精彩啊！A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤【解析】选A.①，②，③是陈述句,且能判断真假，因此是命题,④不能判断真假，⑤是感叹句，故④，⑤不是命题..（多选题）有下列命题，其中为真命题的是（）A.“若x+y>0,则x>0且y>0”B「矩形的对角线相等“C.“若佗1,则〃2+3<4的解集是R”D.喏〃+7是无理数，则。是无理数”【解析】选BD对于A,x=-l<0,y=3>0有x+y>0,是假命题.对于B,矩形的对角线相等，是真命题.对于C,m>\则m+3>4,故为假命题.对于D,若。+7是无理数，则a是无理数,是真命题.判断一个命题真假的方法⑴判断一个命题是真命题，可从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明.⑵判断一个命题是假命题，首先分清原命题的条件与结论，然后举反例说明这个命题是假命题，就是所举例子满足命题条件，而不满足结论.⑶注意：一个命题的真假与命题的背景有关，对其进行判断时，要注意命题的前提.学习任务二全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断(逻辑推理)【典例】1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或叼”表述下列命题.(1)又寸任意-1},3x+4>0成立；⑵对所有实数。，人，方程以十〃=0恰有一个解；⑶有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形.【解析】(1)全称量词命题,表示为Vx^{x\x>-1},3x+4>0.(2)全称量词命题，表示为Va,bGR,方程以十〃=0恰有一个解.⑶存在量词命题，表示为三既能被2整除，又能被3整除.(4)存在量词命题，表示为m是四边形},x不是平行四边形.2.(2022.吉林高一检测)下列四个命题：①VxFRzx2-x+1>0②不存在实数x，使炉+1=0④至少有一个实数x，使得x3+1=0其中真命题的序号是0A.①③B.②③C.②④D,①④【解析】选D.①,/-x+；=-1]2>0,当工二5时等号成立.①正确.②④，当尸7时，9+1=0,②错误，④正确.③，当〃二；时,IV<n,③错误.I.判断全称量词命题与存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧⑴全称量词命题的真假判断.要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素1验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=xo,使得p(xo)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).⑵存在量词命题的真假判断.要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个X=X0,使pQo)成立即可；否则,这一存在量词命题就是假命题.［闪问］常用全称量词与存在量词有哪些？提示：常见的全称量词有“所有的”、“一切”、“每一个二“任意一个”、“任何”、"任给”等,常见的存在量词有“有一个”、“有些”、“有的”、“至少有一个二“存在一个，“对某个”、“某些”、“部分”等.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假.⑴在平面直角坐标系中，任意有序实数对a,)，)都对应一点.⑵存在一个实数，它的绝对值不是正数.(3)3x,y£Z，使3x-4y=20.(4)任何数的()次方都等于1.【解析】(1)全称量词命题,在平面直角坐标系中，任意有序实数对a,)，)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题.⑵存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3x0-4x(-5)=20成立,所以该命题是真命题.(4)全称量词命题.()的。次方无意义,所以该命题是假命题.学习任务三依据含量词命题的真假求参数的取值范围(逻辑推理、数学运算)【典例】已知集合A={x|-2<x<5},B={x\m+\<x<2m-1},B/,若命题〃：“VxGB,是真命题,求m的取值范围.［解题思维］观察本例题⑴给出集合A与8,且印0；(2)给出“VxGB,是真命题联想由8#限制两端取值，根据“VxGB,xW/T是真命题推出集合A与3的关系转化将问题转化为集合之间的关系问题处理【解析】由于命题〃：“VxGB,是真命题,所以BeA,琮。，m+\<2m-1,所以<m+IN-2,2m-1<5,解得23叱3.即m的取值范围为［2,3］.【变式探究】把本例中命题〃改为FxGA,,求〃z的取值范围.【解析】P为真,则AC分。，因为,所以m>2.

所以一26+y

jn>2-2<2m-或"\m>2,所以一26+y

jn>2-2<2m-或"\m>2,依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解策略:⑴理解：首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.⑵转化：其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.1.若巧,x.已知命题〃：“Vx£R,x2-2x+心0”是真命题,求实数m的取值范围.【解析】.已知命题〃：“Vx£R,x2-2x+心0”是真命题,求实数m的取值范围.【解析】〃：“Vx£R,/-2x+加>0”是真命题,即〃?>-x2+=-（x-1/+1,xE：R恒成立，设函数y=-1）2+1,由二次函数的性质知，当x=1时，y最大值=1,所以m>y最大值=1,即实数的取值范围是（1,+8）.【补偿训练】若命题叼x£R,r-哀+。=0”为真命题，求实数a的取值范