专题06双变量问题（原卷版）

专题06双变量问题【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.【题型归纳目录】题型一：双变量单调问题题型二：双变量不等式:转化为单变量问题题型三：双变量不等式:极值和差商积问题题型四：双变量不等式:中点型题型五：双变量不等式:剪刀模型题型六：双变量不等式:主元法【典例例题】题型一：双变量单调问题例1.(2022•苏州三模)已知函数/(x)=(x-l)0r-，其中(I)函数/*)的图象能否与％轴相切？若能，求出实数“，若不能，请说明理由；(II)求最大的整数。，使得对任意%wR,x2e(0,-Ko),不等式/(X+x2)~/(^-x,)>-2x2恒成立例2.(2020秋♦龙岩期中)已知函数g(x)=x-a阮j(1)讨论g(x)的单调性；(2)若a>2,且/(x)=1-g(x)存在两个极值点内，x,(n<x,),证明：J\xx)-/(x,)>(«-2)(x1-x2).x例3.(2022•辽宁)已知函数/(x)=(a+l)阮c+ar-+].(1)讨论函数/(幻的单调性；(2)设。<一1.如果对任意用，七£(。，+8)，"(X)-/02)1••41%-马I，求a的取值范围.例4.(2020春•平顶山期末)已知函数/。)=2/2+乂，m>0.x(1)当〃?=e(e为自然对数的底数)时，求/(力的极小值；(2)讨论函数g(x)=/(x)-x的单调性；(3)若〃L.1,证明：对于任意匕>a>0,幺？-<]b-a题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例5.(2021春•海曙区校级期中)已知函数/(x)=L-x+4mr.x(1)讨论/")的单调性：(2)已知若八幻存在两个极值点%,占，且为<M，求以史的取值范围.2x(x,例6.(2021春•江宁区校级期中)已知函数/(x)=ar/nx,awR.(1)当〃=1时，①求f(x)的极值；m②若对任意的x..e都有/(x)…'e”,/〃>0,求m的最大值；x(2)若函数g(x)=/'(x)+/有且只有两个不同的零点也，x2,求证：$七>/.例7.(2022•德阳模拟)设函数=(1)当4时，求g(x)=/'(x)・ei的单调区间(/'(X)是/(幻的导数)；e(2)若/(x)有两个极值点芭、x2(x,<x2),证明：x}+2x2>3.例8.(2022•潮州二模)已知函数/(.r)=lux,g(x)=x2-ax(a>0).(1)讨论函数〃(x)=/(x)+g(x)的极值点；(2)若％,毛(%〈工)是方程/。)-驾+1=0的两个不同的正实根，证明：x-+^>4a.XX-例9.(2022•浙江模拟)已知4£尺，函数/(x)=e'—ar+a.（I）若/1（%）..0,求♦的取值范围;（II）记X],（其中西<工2）为/（X）在（。，中功上的两个零点，证明：――<<—+1•a-eIna题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例10.（2021春•温州期中）已知函数/（x）=3-々or-」）•2x（1）若々=1,证明：当0<xvl时，/（x）>0；当x>l时，/（x）<0.（2）若/'5）存在两个极值点%,小，证明：<一%一々2例11.（2021春•浙江期中）已知函数/"）=,一4+4伍厂x（1）当4=0时，求函数/。）在点（1,0）处的切线方程；（2）讨论/'（幻的单调性；（3）若f（x）存在两个极值点M，x,,证明："/）二"3。-2.例12.（2021秋•武汉月考）已知函数/（1）=布+罗一（4+1）人”/?.（1）讨论函数/（%）的单调区间;（2）设玉，%（。<%V%2）是函数g（X）=/（X）+X的两个极值点，证明：&（百）-g02）<]-/〃〃恒成立•题型四：双变量不等式:中点型例13.(2022•呼和浩特二模)己知函数/(x)=/〃x-a*+(2-〃)x.①讨论/（X）的单调性；②设4>0,证明：当0<X<L时，/（—4-x）>f（--x）；aaa③函数），=/（©的图象与x轴相交于4、B两点,线段4?中点的横坐标为%,证明例14.（2021秋•山西期末）已知函数/。）=24+（1-24加+色.x（1）讨论/。）的单调性；（2）如果方程/（的=，〃有两个不相等的解内，与，且证明：r（"殳）>（）.例15.（2022•沙坪坝区校级开学）已知函数/*）=k一2公+2/w（a>0）.（1）讨论函数/3）的单调性；（2）设g（x）=〃n-质-工，若函数/（幻的两个极值点耳,为（*<W）恰为函数g。）的两个零点，且丫=（3-占）/（与土）的取值范围是［加3-1,+oo）,求实数〃的取值范围.题型五：双变量不等式:剪刀模型例16.（2022•日照一模）已知函数/。）=*+加（娉-〃）仍>0）在点（」,/（」））处的切线方程为226—1（e-l）x+ey+=0.2（1）求a,b；（2）函数f（x）图象与x轴负半轴的交点为P,且在点尸处的切线方程为）=力（幻，函数F（x）=f（x）-h（x）,xwR,求F（x）的最小值；（3）关于x的方程=有两个实数根%,北，且西〈乂，证明：x,—苦,，1+2'”_-.2\-e例17.（2021春•道里区校级期中）已知函数/（x）=ar-e'+l,小3是/。）的极值点.（I）求。的值：（II）设曲线），=/（©与X轴正半轴的交点为尸，曲线在点P处的切线为直线/.求证：曲线），=/*）上的点都不在直线/的上方；（HI）若关于x的方程/'（x）=/〃（〃?>0）有两个不等实根玉，x2（xi<x2）,求证：七一%<2-产.例18.（2022•江西校级二模）已知函数/（x）=6x-f,xwR.（I）求函数/*）的极值；（II）设曲线y=/（x）与x轴正半轴的交点为尸，求曲线在点尸处的切线方程；（III）若方程/（幻=a（。为实数）有两个实数根X1，占且王<工2，求证：9-题型六：双变量不等式:主元法例19.（2021春•哈密市校级月考）已知函数f（x）=xbix.（1）求函数fW的单调区间和最小值；（2）当。>0时，求证：从..（1）5（其中e为自然对数的底数）；e例20.（2021秋•广东月考）已知函数/（幻=。《+（加（其中acR且“为常数，e为自然对数的底数,x6=2.71828…）.（I）若函数f（x）的极值点只有一个，求实数〃的取值范围；（II）当a=0时,若f（x\,H+〃？（其中机>0）恒成立,求（Z+1）〃?的最小值h（m）的最大值.例21.（2022•微山县校级二模）设函数=（I）求/（x）的极值；（1【）设g（x）=/（x+l），若对任意的X.0，都有g（X）..〃2X成立，求实数W的取值范围；（III）若OvavZ?,证明：0</（4）+/（1）—2］（"；"）<3—〃）加2.【过关测试】（2022・辽宁•抚顺市第二中学三模）已知函数=x-；（2-a）/一:底相（=2.71828…）⑴当时，证明函数/(X)有两个极值点：⑵当OvaWl时，函数g(x)=/(x)-；bx2-法在(0,y)上单调递减，证明人1+1(2022•北京•北师大二附中三模)已知函数"x)=eX(l+〃Hnx),其中机>0,2(力为外力的导函数.(1)当〃?=1,求/("在点(lj(l))处的切线方程；⑵设函数且〃(工)...|恒成立.①求〃?的取值范围；②设函数/(x)的零点为/'("的极小值点为巧，求证：(2022•湖北•高二阶段练习)已知函数/(x)=lnx+3x2-(a+l)M4€R),g(x)=f(x)-^-x2+(a+\)x.(1)讨论/⑶的单调性;(2)任取两个正数.，当王<*2时，求证：g(xl)-g(x2)<z^——.X]+x2(2022•陕西•汉台中学模拟预测(理))已知函数/(工)=1门+@+8(«,bwR).JC⑴求函数/(X)的极值；(2)若函数/(X)的最小值为0,阳，々(玉</)为函数g(x)=/(x)-g的两个零点，证明：cAl-elnx,>2.(2022•江苏•海门中学高二阶段练习)已知函数/(x)=lnx+jf—公⑴讨论函数f(x)的单调性；(2)若/(冷有两个极值点不天，证明"")"七)<2一InIna-\nb2Ina-\nb2(2022.湖北.模拟预测)已知对于不相等的正实数小b,有疝<.°-b〈孚成立,我们称其为对数平均不等式.现有函数〃耳=见山⑴求函数Ina-\nb2①证明：—T；②证明：|-^~x2\<—^(Inm)2-2\nm.(2022•山东济宁•高二期中)已知函数/(x)=-x+1+alnx(awR),且/(x)有两个极值点%,占.X⑴求实数。的取值范围；⑵是否存在实数〃，使以上3=。一2成立，若存在求出。的值，若不存在，请说明理由.司一声(2022•广东・广州市第七中学高二期中)已知函数/⑴=lnx-加+(2-4)二⑴讨论/")的单调性；⑵若函数y=/(x)的图像与％轴交于A,8两点，线段AB中点的横坐标为小,证明：/'5)<().(2022•重庆•万州纯阳中学校高二期中)设函数/(x)=lnx+g(aeR).x(1)讨论函数/(X)的单调性：⑵若/⑴有两个零点中士,①求〃的取值范围；②证明：2a<xl+x2<\.(2022•福建省厦门集美中学高二期中)已知函数/(x)=ar+lnx.⑴试讨论/(x)的极值；⑵设晨司=丁-2丹2