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计算方法2月24日1第2章插值法引言拉格朗日插值牛顿插值（差分形式）埃尔米特插值分段低次插值三次样条插值2插值节点特性已知两种多项式插值方法拉格朗日插值法牛顿插值法他们对节点位置没有要求（任意）如果插值节点等间距（实际中常见），则牛顿插值法可有所简化3等距节点插值问题

给定(x0,y0),(x1,y1),……(xn,yn),

给定x，确定y=?给定的节点的横坐标还满足等步长：xi=x0+i*h,其中h>0，称为步长.从而xi

－xi-1

＝h．此时有更有效的方法吗？4复习：牛顿均差插值多项式牛顿插值公式余项（与拉格朗日插值余项等价）5差分定义6不变算子和移位算子I：不变算子E：移位算子7差分性质18差分性质1推导（以向前差分为例）9……差分性质210差分性质3（与均差的关系）11向前差分计算表格12

向后差分计算表格13

向前/后差分表格14

用差分取代均差的牛顿插值公式15

等距点牛顿插值公式（向前）16等距点牛顿插值公式（向后）17例5x0=0，给出f(x)=cos(x)在xk=kh，k=0,1,…,6，h=0.1处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算f(0.048)及f(0.566)的近似值并估计误差。x=0.048接近x0，采用牛顿前插，t=0.48x=0.566接近x6，采用牛顿后插，t=-0.34example20318例519埃尔米特(Hermite)插值重点：除了函数值约束还有导数值要求求解方法：重节点均差待定系数典型——函数和导数值个数相同20函数和导数值个数不相同P36两个典型的埃尔米特插值？重节点均差21带重节点的牛顿插值法(不要求)例：给定x0=0，x1=1，x2=2，试求f(x)的四次埃尔米特插值多项式P(x)，使它满足P(x0)=0，

P(x1)=1，

P(x2)=1，

P’

(x0)=0，

P’(x1)=1f[x0,x0]f[x1,x1]22没有重节点的牛顿插值法23重节点均差24特例：泰勒展开只有一个插值节点：x0将这个节点看作是一个n重节点25待定系数法（函数和导数值个数不同）先用一般牛顿插值法获得符合函数值要求的多项式追加一项不影响之前约束的项，求解系数26典型埃尔米特插值还是多项式插值，还是n+1个插值节点条件增加到2n+2个n+1个插值节点的函数值n+1个插值节点的导数值可以确定的多项式次数增加到2n+1次

H2n+1(x)=a0+a1x+…+a2n+1x2n+127基本思想类似拉格朗日法用插值基函数的线性组合表示每个插值基函数都是2n+1次的多项式每个插值点对应2个插值基函数一个插值基函数用来满足函数值要求一个插值基函数用来满足导数值要求28埃尔米特插值的构成如果获得了满足上述条件的插值基函数，则可构成插值多项式其中的线性系数为29如何求插值基函数？利用已有的拉格朗日基函数lj(x)是n次的，而且已经满足了特定条件，所以以此为基础构造所需的两种基函数问题一：已经满足什么约束？问题二：还需要满足什么约束？依据它们各自需要达到的条件来解出待定系数a和b。30

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