离散数学(3.6关系性质)

1离散数学(DiscreteMathematics)张捷第三章集合与关系（SetsandRelations)

3.6关系的闭包运算(ClosureOperations)3.7集合的划分与覆盖(Partition&CoverofSets)3.8等价关系(EquivalentRelations)3.9相容关系(Compatibility

Relations)3.10序关系(OrderedRelations)3.1集合及其运算(Sets&Operationswithsets)

3.2序偶与笛卡尔积(OrderedPairs&CartesianProduct)3.3关系

(Relations)3.4关系的性质(ThePropetiesofRelations)3.5复合关系与逆关系(CompoundRelations&InverseRelations)3.4关系的性质(ThepropertiesofRelations)3.4.1

集合A上关系的性质(ThepropertiesofRelationsonsetA)3.4.2由关系图、关系矩阵判别关系的性质第三章集合与关系(Sets&Relations)第三章集合与关系(Sets&Relations)

3.4.1集合A上关系的性质

定义3.4.1

设是集合A上的关系（1）若对于所有的，均有，则称在A上是自反的(reflexive)。

（2）若对于所有的，均有，则称在A上是反自反的(antireflexive)。

（3）对于所有的，若每当有就必有，则称在A上是对称的(symmetric)。

（4）对于所有的，若每当有和就必有，则称在A上是反对称的(antisymmetric).

（5）对于所有的，若每当有和就必有，则称在A上是可传递的(transitive)。例1

设，

（1）自反与反自反

自反自反非自反反自反

（2）对称与反对称对称，非反对称非对称，反对称非对称，非反对称对称，反对称（3）可传递与不可传递可传递不可传递可传递U自反反自反U对称不反对称反对称不对称既对称又反对称则例2

设，A上的关系自反对称不是反对称对于任意的,，则也是偶数。因此是可传递的。则是自反的、反对称的、可传递的。例3

设则自反的、对称的、反对称的、可传递的。则自反的、反对称的、可传递的。则是自反的、对称的、可传递的。例3（续）则反自反的、反对称的、可传递的。则反自反的、反对称的。例4是不自反、反自反的、对称的、反对称、可传递的。例5全关系是自反的、对称的、可传递的。3.4.2由关系图、关系矩阵判别关系的性质1.关系矩阵

1234若是自反的，则关系矩阵的主对角线上的所有元素均为1。若是反自反的，则关系矩阵的主对角线上所有元素均为0。若是对称的，则关系矩阵关于主对角线对称。若是反对称的，则关系矩阵中，关于主对角线对称的元素不同时为1。

例如，2.关系图

若是对称的，则在关系图中，若两结点之间有边，则必存在两条方向相反的边。若是反对称的，则在关系图中，任意两个不同的结点间至多只有一条边。

若是自反的，则关系图中每一结点引出一个指向自身的单边环(自环）。若是反自反的，则关系图中每一结点均没有自环。

若是可传递的，则在关系图中，若每当有边由指向，且又有边由指向，则必有一条边由指向。例6

设，下面分别给出集合A上三个关系的关系图，试判断它们的性质。（2）非自反，也不是反自反，非对称，反对称，可传递。（3）是自反的，对称的，可传递的，不是反自反，也不是反对称。解（1）是自反的，非对称，不是反对称，不可传递