材料力学第三章扭转-正式-第一讲

1第三章扭转2第三章扭转

§3-1

扭转的概念和实例§3-2外力偶矩的计算

扭矩及扭矩图§3-3纯剪切

§3-4

圆轴扭转时的应力3

*§3-8

薄壁杆件的自由扭转§3-5

圆轴扭转时的变形§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

§3-7非圆截面杆的扭转概念4齿轮传动用于机床、汽车、起重机、拖拉机等的变速箱

§3-1扭转的概念及实例一、工程实例56力偶：大小相等，方向相反，不在同一作用线上的一对平行力称为“力偶”。力偶矩：平行力中的一个力与力偶臂的乘积。力偶不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶平衡。根据力偶的性质，力偶只产生转动效应。7MeMe二、杆件扭转受力特点

杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.8§3-2外力偶矩的计算·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩从动轮主动轮从动轮nMe2Me1Me39外力偶矩Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为

在已知传动轴的转速n和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：10

主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。11Me假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算1.求内力截面法TMeMeT:截面内力偶矩，称为扭矩122.扭矩的正负号：规定可按右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。13nnMeMe•xMe•xT3.扭矩图

用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x

轴下方。Tx+_14Me4ABCDMe1Me2Me3n例3-1一传动轴如图所示,其转速n=300r/min，主动轮A输入的功率为P1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW，P3=150kW,P4=200kW。试做扭矩图。15解:计算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3nP1=500kWP2=150kWP4=200kWP3=150kWn=300r/min16

计算CA

段内截面上的扭矩.结果为负号,说明T

2应是负值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me417ABCD在AD

段内1133Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作扭矩图从图可见,最大扭矩在CA段内.同理,在BC

段内4774.5N·m9549N·m6366N·m+_T181.实验前（1）画纵向线、圆周线;（2）施加一对外力偶.一、薄壁圆筒扭转时切应力薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度；（3）所有矩形网格均成为同样大小的平行四边形.§3-3纯剪切193.推论（1）横截面上无正应力，只有切应力；（2）切应力方向垂直半径或与圆周相切.dxδ

圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.MeMeABDCdx20此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4.推导公式Tττ

薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致.21xdydzdxyz二、切应力互等定理ττ1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,其方向于y

轴平行.

两侧面的内力元素

dydz大小相等,方向相反,将组成一个力偶.由平衡方程其矩为(dydz)dx22xydydzzdxττ2.要满足平衡方程

在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力组成力偶，其矩为即：3.切应力互等定理

单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,都指相（或背离）该两平面的交线.23MeMel式中,r

为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律4.纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.从几何关系可以得到切应变与相对转角的关系为：

薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶Me

在某一范围内时,

与Me

（在数值上等于

T

）成正比.24三个弹性常数的关系TO从T与之间的线性关系,可推出与

间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克定律G–切变模量O由：25思考题：指出下面图形的切应变2切应变为切应变为026四、剪切应变能

对处于纯剪切应力状态的单元体（图a），为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功。27

当材料在线弹性范围内工作时（t

≤tp，见图b），有：28由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为

单元体内储存的应变能dVe数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVe=dW

。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为29变形几何关系物理关系静力关系

观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式§3-4圆轴扭转时的应力30一、变形几何关系2.平面假设变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面，形状和大小不变；相邻两截面的距离不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。1.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度。31aabbdxO1O23.几何关系

倾角是横截面圆周上任一点A

处的切应变,d是b-b截面相对于a-a截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.

经过半径O2D

上任一点G的纵向线EG

倾斜了一个角度r,也就是横截面半径上任一点E处的切应变TTdADG'ρρD'GE32aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ式中——相对扭转角j

沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。33

同一圆周上各点切应力

均相同,且其值与成正比,

与半径垂直.

二、物理关系由剪切胡克定律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ34rOdAdAρρT三、静力关系结论ρρIp—横截面对圆心的极惯性矩GIp—横截面扭转刚度35Wt

称作抗扭截面系数，单位为mm3或m3.2.的计算rOTdAdAρρρmax静力关系代入物理关系中得到物理关系静力关系36（1）实心圆截面dO四.极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wt的计算ρdρ37（2）空心圆截面ODdρdρ38例题3-2图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm,Me1=6kN·m,Me2=4kN·m,材料的切变模量G=80GPa.（1）画轴的扭矩图；（2）求轴的最大切应力,并指出其位置.Me1Me2ABCll39解:（1）画轴的扭矩图Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段

Tmax=4kN·mMe1=6kN·m,Me2=4kN·m42+_T/kN·m40T（2）求轴的最大切应力,并指出其位置max

最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.Me1Me2ABCllmax

Tmax=4kN·m411.数学表达式五、强度条件2.强度条件的应用强度校核设计截面确定许可载荷42ABC解：作轴的扭矩图MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分别校核两段轴的强度例题3-3

图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC

段的直径

d2=100mm.扭转力偶矩为MeA=22kN·m,MeB=36kN·m,MeC=14kN·m.已知材料的许用切应力[]=80MPa,试校核该轴的强度.因此,该轴满足强度要求.1243例题3-4实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M

和长度l

均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比

=0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.ll(a)(b)

分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T.已知：d1d2D244因此